a pravděpodobnost
KOMBINATORIKA
L04: Kombinační číslo a jeho vlastnosti
<< Předchozí lekce | Seznam lekcí | Další lekce >>
Další matematickou operací, která se využívá v oblasti kombinatoriky je kombinační číslo.
Jak určíme hodnotu kombinačního čísla, si ukážeme na následujícím příkladu.
Určete hodnotu $${\binom{16}{12}}$$
$${\binom{16}{12} = {{16!}\over{12!\cdot(16 - 12)!}} = {{16!}\over{12!\cdot4!}} = {{16\cdot15\cdot14\cdot13\cdot12!}\over{12!\cdot4!}} = {{16\cdot15\cdot14\cdot13}\over{4!}} = {{16\cdot15\cdot14\cdot13}\over{4\cdot3\cdot2\cdot1}} = 2\cdot5\cdot14\cdot13 = 1820}$$
Z definice kombinačního čísla můžeme odvodit i další vztah:
$${\binom{n}{n - k} = {{n!}\over{(n - k)!\cdot[n - (n - k)]!}} = {{n!}\over{(n - k)!\cdot[n - (n - k)]!}} = {{n!}\over{(n - k)!\cdot{k!}}} = \binom{n}{k}}$$
Určete hodnotu $${3\cdot\binom{12}{8} - 2\cdot\binom{12}{4} + \binom{5}{4}}$$
$${3\cdot\binom{12}{8} - 2\cdot\binom{12}{4} + \binom{5}{4} = }$$
Dle vzorce ${\binom{n}{n - k} = \binom{n}{k}}$ můžeme nahradit výraz ${\binom{12}{8}}$ výrazem ${\binom{12}{4}}$
$${ = 3\cdot\binom{12}{4} - 2\cdot\binom{12}{4} + \binom{5}{4} = \binom{25}{5} + \binom{5}{4} = {{12!}\over{4!\cdot(12 - 4)!}} + {{5!}\over{4!\cdot(5 - 4)!}} = {{12!}\over{4!\cdot8!}} - {{5!}\over{4!\cdot1!}} = }$$
$${ = {{12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8!}\over{4\cdot3\cdot2\cdot1\cdot8!}} + {{5\cdot4!}\over{4!\cdot1}} = {{12\cdot11\cdot10\cdot9}\over{4\cdot3\cdot2\cdot1}} + 5 = 11\cdot5\cdot9 + 5 = 495 + 5 = 500 }$$