KOMBINATORIKA

$${(n - 90)! - 4(n - 91)! = (n - 89)!}$$

$${(n - 90)\cdot(n - 91)! - 4(n - 91)! = (n - 89)\cdot(n - 90)\cdot(n - 91)! ~~~~ | : (n - 91)!}$$

$${(n - 90) - 4 = (n - 89)\cdot(n - 90)}$$

$${n - 94 = n^2 - 179n + 8010}$$

$${n^2 - 180n + 8104 = 0}$$

$${D = b^2 - 4 \cdot a \cdot c = (-180)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8104 = 32400 - 32416 = -16}$$

${D \lt 0}$ ... rovnice nemá řešení v oboru reálných čísel

$${(n + 1)! - 16(n - 1)! = n!}$$

$${(n + 1) \cdot n \cdot (n - 1)! - 16(n - 1)! = n \cdot (n - 1)! ~~~~ | : (n - 1)!}$$

$${(n + 1) \cdot n - 16 = n}$$

$${n^2 + n - 16 = n}$$

$${n^2 - 16 = 0}$$

$${(n - 4)(n + 4) = 0}$$

$${n_1 = +4}$$

$${n_2 = -4}$$

V řešení však musíme zohlednit podmínky. Faktoriál je definovaný pouze pro nezáporná celá čísla. Platí tedy podmínka ${n \ge 1}$ Rovnice má tedy pouze jedno řešení, ${n = 4}$.

$${\frac{n!}{(n - 2)!} = 4n}$$

$${\frac{n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2)!}{(n - 2)!} = 4n}$$

$${n \cdot (n - 1) = 4n}$$

$${n^2 - n = 4n}$$

$${n^2 - 5n = 0}$$

$${n \cdot (n - 5) = 0}$$

$${n_1 = 0}$$

$${n_2 = 5}$$

V řešení však musíme zohlednit podmínky. Faktoriál je definovaný pouze pro nezáporná celá čísla. Platí tedy podmínka ${n \ge 2}$ Rovnice má tedy pouze jedno řešení, ${n = 5}$.

$${\frac{(n + 6)!}{(n + 4)!} - n \cdot \frac{(n - 4)!}{(n - 5)!} = 5n + 80}$$

$${\frac{(n + 6) \cdot (n + 5) \cdot (n + 4)!}{(n + 4)!} - n \cdot \frac{(n - 4) \cdot (n - 5)!}{(n - 5)!} = 5n + 80}$$

$${(n + 6) \cdot (n + 5) - n \cdot (n - 4) = 5n + 80}$$

$${n^2 + 11n + 30 - n^2 + 4n = 5n + 80}$$

$${15n + 30 = 5n + 80}$$

$${10n = 50}$$

$${n = 5}$$

$${72n! \ge (n + 2)! }$$

$${72n! \ge (n + 2) \cdot (n + 1) \cdot n! ~~~~ | : n!}$$

$${72 \ge (n + 2) \cdot (n + 1)}$$

$${72 \ge (n + 2) \cdot (n + 1)}$$

$${72 \ge n^2 + 3n + 2}$$

$${0 \ge n^2 + 3n - 70}$$

$${n^2 + 3n - 70 \le 0}$$

$${D = b^2 - 4 \cdot a \cdot c = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-70) = 289}$$

$${n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{289}}{2} = \frac{-3 \pm 17}{2}}$$

$${n_1 = -10}$$

$${n_2 = 7}$$