KOMBINATORIKA

$${{2\over{(n + 1)!}} - {3n\over{(n + 2)!}} + {{2n + 5}\over{(n + 3)!}} = }$$

V tomto příkladu využijeme vzorečku z minulé lekce, kdy faktoriál ${(n + 2)!}$ můžeme zapsat jako ${(n + 2)\cdot(n + 1)!}$ a faktoriál ${(n + 3)!}$ jako ${(n + 3)\cdot(n + 2)\cdot(n + 1)!}$.

$${ = {2\over{(n + 1)!}} - {3n\over{(n + 2)\cdot(n + 1)!}} + {{2n + 5}\over{(n + 3)\cdot(n + 2)\cdot(n + 1)!}} = }$$

Touto úpravou názorně vidíme, jak je nutné rozšířit jednotlivé zlomky, abychom je upravili na společného jmenovatele a mohli je sečíst.

$${ = {{2\cdot(n + 3)\cdot(n + 2) - 3n\cdot(n + 3) + (2n + 5)}\over{(n + 3)\cdot(n + 2)\cdot(n + 1)!}} = {{2\cdot(n + 3)\cdot(n + 2) - 3n\cdot(n + 3) + (2n + 5)}\over{(n + 3)!}} = {{2\cdot(n^2 + 5n + 6) - 3n^2 - 9n + 2n + 5}\over{(n + 3)!}} = }$$

$${ = {{2n^2 + 10n + 12 - 3n^2 - 9n + 2n + 5}\over{(n + 3)!}} = {{-n^2 + 3n + 17}\over{(n + 3)!}}}$$

V tomto příkladu využijeme vzorečku z minulé lekce, kdy faktoriál ${(n + 6)!}$ můžeme zapsat jako ${(n + 6)\cdot(n + 5)\cdot(n + 4)!}$ a následně můžeme vykrátit s ${(n + 4)!}$ ve jmenovateli.

$${{{(n + 6)!}\over{(n + 4)!}} = {{(n + 6)\cdot(n + 5)\cdot(n + 4)!}\over{(n + 4)!}} = (n + 6)\cdot(n + 5) = n^2 + 11n + 30}$$

$${{{(n + 4)!}\over{(n + 2)!}}-{{(n - 2)!}\over{(n - 3)!}} = {{(n + 4)\cdot(n + 3)\cdot(n + 2)!}\over{(n + 2)!}}-{{(n - 2)\cdot(n - 3)!}\over{(n - 3)!}} = {(n + 4)\cdot(n + 3)} - {(n - 2)} = n^{2} + 7n + 12 - n + 2 = n^{2} + 6n + 14}$$

$${n \ge 3}$$

$${{{(n + 2)!}\over{n!}} + 3{{(n + 1)!}\over{(n - 1)!}} - {{n!}\over{(n - 2)!}} = {{(n + 2)\cdot(n + 1)\cdot{n}!}\over{n!}} + 3{{(n + 1)\cdot{n}\cdot(n - 1)!}\over{(n - 1)!}} - {{{n}\cdot{(n - 1)}\cdot{(n - 2)}!}\over{(n - 2)!}} = (n + 2)\cdot(n + 1) + 3\cdot(n + 1)\cdot{n} - {n}\cdot{(n - 1)} = }$$ $${= n^2 + 2n + n + 2 + 3\cdot(n^2 + n) - n^2 + n = n^2 + 2n + n + 2 + 3n^2 + 3n) - n^2 + n = 3n^2 + 7n + 2}$$

$${n \ge 2}$$

Při tomto důkazu budeme upravovat obě strany rovnosti tak, abychom na obou stranách získali stejný výraz a tím dokázali rovnost původních výrazů.

$${{n! + (n - 1)!\cdot{n^2} = (n + 1)!}}$$

$${{n\cdot(n - 1)! + (n - 1)!\cdot{n^2} = (n + 1)\cdot{n}\cdot(n - 1)!}}$$

$${{(n + {n^2})\cdot(n - 1)! = (n + 1)\cdot{n}\cdot(n - 1)!}}$$

$${{(1 + n)\cdot{n}\cdot(n - 1)! = (n + 1)\cdot{n}\cdot(n - 1)!}}$$

$${{(n + 1)\cdot{n}\cdot(n - 1)! = (n + 1)\cdot{n}\cdot(n - 1)!}}$$

Při dokazování dané nerovnosti zjednodušíme výraz na levé straně nerovnice.

$${{{900! + 901!}\over{901! + 903!}} < 1}$$

$${{{900! + 901\cdot900!}\over{901\cdot900! + 903\cdot902\cdot901.900!}} < 1}$$

$${{{900!\cdot(1 + 901)}\over{900!\cdot(901 + 903\cdot902\cdot901)}} < 1}$$

$${{{(1 + 901)}\over{(901 + 903\cdot902\cdot901)}} < 1}$$

Když se podíváme na upravený výraz, můžeme říct, že ${1 + 901}$ v čitateli je určitě menší než ${901 + 903\cdot902\cdot901}$ ve jmenovateli. Z toho plyne, že hodnota daného zlomku je menší než 1 a zadaná nerovnost platí.