a pravděpodobnost
PRAVDĚPODOBNOST
L30: Příklady na procvičení X
<< Předchozí lekce | Seznam lekcí | Další lekce >>
Při hře hážeme dvěma kostkami - červenou a modrou. Hráč vyhraje v případě, že padne součet menší než 5. Tento jev si označíme písmenem $A$. Určete množinu všech prvků množiny $A$.
$${A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 1)}$$
Jaká je pravděpodobnost, že při hodu čtyřmi mincemi padne na všech mincích stejný znak?
U každé mince můžeme mít 2 možnosti výsledku: líc (L) a rub (R). Úspěchu u našeho náhodného pokusu budou odpovídat pouze 2 výsledky (LLLL a RRRR) z celkového počtu pokusů, který lze určit jako variaci s opakováním 4. řádu ze 2 prvků: $${V'(4, 2) = 2^4 = 16}$$
Pravděpodobnost tohoto jevu tedy bude: $${p(A) = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}}$$
Jaká je pravděpodobnost výhry ve sportce?
a) v I. pořadí (uhádneme všech 6 čísel)?
b) ve IV. pořadí (uhádneme 4 čísla)?
Ve sportce se losuje celkem 6 čísel ze 49. Před samotným výpočtem pravděpodobnosti je nutné znát množinu všech možných řešení. Protože nezávisí na pořadí a čísla se nemohou opakovat, bude se jednat o kombinaci bez opakování 6. řádu ze 49 prvků: $${C(6, 49) = \binom{49}{6} = \frac{49!}{6! \cdot 43!} = 13~983~816}$$
a) výhra v I. pořadí:
V tomto případě je výherní pouze jedna kombinace, která obsahuje všechna losovaná čísla. Pravděpodobnost tedy je: $${p(A) = \frac{1}{\binom{49}{6}} = \frac{1}{13~983~816}}$$
b) výhra v IV. pořadí:
V tomto případě je situace o něco složitější. Pro dosažení výhry musíme uhádnout 4 čísla a 2 čísla uhádnout nesmíme. Vybíráme tedy 4 výherní čísla ze 6 vsazených a pro každou takovou čtveřici vybíráme 2 nevýherní ze zbylých 43 čísel.
Pro počet výsledků odpovídajících tomuto jevu bude platit: $${n_B = C(4, 6) \cdot C(2, 43) = \binom{6}{4} \cdot \binom{43}{2} = \frac{6!}{4! \cdot 2!} \cdot \frac{43!}{2! \cdot 41!} = 15 \cdot 903 = 13~545}$$
Nyní již k výpočtu pravděpodobnosti výhry: $${p(B) = \frac{\binom{6}{4} \cdot \binom{43}{2}}{\binom{49}{6}} = \frac{13~545}{13~983~816} = \frac{645}{665896}}$$
Při rozhodování si při výběru ze dvou možností můžeme pomoci hodem mincí. Lze hod mincí nahradít náhodným výběrem z balíčku karet?
Na balíčku karet musíme najít jev, který má stejnou pravděpodobnost, jako hod mincí.
U hodu mincí může padnout líc nebo rub, obě možnosti s pravděpodobností ${\frac{1}{2}}$.
U balíčku karet můžeme zvolit například náhodné losování jedné karty, kdy vybereme černou nebo červenou kartu. Obě mají také stejnou pravděpodobnost ${\frac{1}{2}}$
Házíme dvěma kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že na obou padne stejné číslo?
Při hodu dvěma kostkami může nastat ${6 \cdot 6 = 36}$ různých výsledků.
Stejné číslo na obou kostkách nastane v 6 případech.
$${P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}}$$
V zásilce 100 ks mobilních telefonů je 6 vadných kusů. Určete pravděpodobnost, že mezi 10 náhodně vybranými telefony bude 8 v pořádku.
Nejprve určíme množinu všech možných řešení: $${N(\Omega) = C(10, 100) = \binom{100}{10} = \frac{100!}{10! \cdot 90!} = 17310309456440}$$
Nyní počet možností výběru 8 správných výrobků: $${N(S) = C(8, 94) = \binom{94}{8} = \frac{94!}{8! \cdot 86!} = 111315063717}$$
Nyní počet možností výběru zbylých 2 chybných výrobků: $${N(S) = C(2, 6) = \binom{6}{2} = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = 15}$$
Pravděpodobnost výskytu 8 správných výrobků: $${P(A) = \frac{\binom{94}{8} \cdot \binom{6}{2}}{\binom{100}{10}} = \frac{111315063717 \cdot 15}{17310309456440} = \frac{69687}{722456} \doteq 0,096}$$