a pravděpodobnost
PRAVDĚPODOBNOST
L28: Náhodný jev
<< Předchozí lekce | Seznam lekcí | Další lekce >>
Pojmen jev (nebo náhodný jev) lze označit jakoukoliv podmnožinu množiny všech možných výsledků. Protože se v případě jevů jedná o množiny, označují se velkými písmeny.
Jevy můžeme rozdělit na jevy elementární, kdy daný jev reprezentuje jednoprvková množina (např. jev A bude situace, kdy při hodu kostkou padne 6, tedy ${A = \{6\}}$), a jevy složené (např. jev B bude situace, kdy při hodu kostkou padne sudé číslo, tedy ${B = \{2; 4; 6\}}$).
Při hře hážeme dvěma kostkami - červenou a modrou. Hráč vyhraje v případě, že padne alespoň jedna šestka. Tento jev si označíme písmenem $A$. Určete množinu všech prvků množiny $A$.
Jeden hod si označíme jako dvojici ${[x; y]}$, kde ${x}$ je hodnota, která padne na 1. kostce a ${y}$ je hodnota, která padne na 2. kostce. Množina $A$ tedy bude následující: $${A = \{[1; 6]; [2; 6]; [3; 6]; [4; 6]; [5; 6]; [6; 6]; [6; 1]; [6; 2]; [6; 3]; [6; 4]; [6; 5]\} }$$
U náhodných jevů můžeme dále mluvit o dvou speciálních jevech - jedná se o jev jistý a jev nemožný.
Jev nemožný je reprezentován prázdnou množinou. Jedná se o jev, který nemůže nastat nikdy.
Jev jistý je reprezentován množinou všech možných výsledků. Jedná se o jev, který nastává vždy.
Jelikož jsou jevy reprezentovány množinami, tak je při práci s nimi možné využívat veškeré množinové operace:
- výsledek ${\omega \in A}$ se označuje jako \textbf{výsledek příznivý jevu $A$},
- zápis ${A \subset B}$ znamená, že jev A je \textbf{podjevem} jevu $B$,
- \textbf{sjednocení} jevů $A$ a $B$ lze zapsat ${A \cup B}$,
- \textbf{průnik} jevů $A$ a $B$ lze zapsat ${A \cap B}$,
- jev ${A'}$ je jev \textbf{opačný} k jevu $A$.
Je-li ${A \cap B = \emptyset}$, lze říct, že jevy $A$ a $B$ se navzájem vylučují.
V náhodném pokusu budeme házet jednou kostkou. Mějme jev $A$, který představuje situaci, kdy padne sudé číslo, a jev $B$, který představuje situaci, kdy padne číslo dělitelné třemi.
Určete:
a) všechny podjevy jevu $B$,
b) sjednocení jevů $A$ a $B$,
c) průnik jevů $A$ a $B$,
d) jev opačný k jevu $A$.
a) Podjevy jevu $B$
Jedná se o všechny podmnožiny množiny $B$:
$${B_1 = \emptyset;\,\,B_2 = \{3\};\,\,B_3 = \{6\};\,\,B_4 = \{3; 6\}}$$
b) Sjednocení jevů $A$ a $B$:
$${A \cup B = \{2; 4; 6\} \cup \{3; 6\} = \{2; 3; 4; 6\}}$$
c) Průnik jevů $A$~a~$B$:
$${A \cap B = \{2; 4; 6\} \cap \{3; 6\} = \{6\}}$$
d) Jev opačný k~jevu~$A$: $${A' = \{1; 3; 5\}}$$
Hodíme třikrát mincí. Vyjmenujte všechy možné výsledky pokusu, kdy padl líc právě jednou.
(L, R, R), (R, L, R), (R, R, L)
Hodíme třikrát mincí. Vyjmenujte všechy možné výsledky pokusu, kdy padl líc alespoň jednou.
(L, R, R), (R, L, R), (R, R, L), (L, L, R), (L, R, L), (R, L, L), (L, L, L)
- Co je to náhodný jev?
- Co je to jev nemožný?
- Co je to jev jistý?
- Jakákoliv podmnožina množiny všech možných výsledků. Náhodné jevy označujeme (stejně jako ostatní množiny) velkými písmeny a dělíme je na jevy elementární (reprezentovány jednoprvkovou množinou) a jevy složené.
- Jev nemožný je reprezentován prázdnou množinou. Jedná se o jev, který nemůže nastat nikdy.
- Jev jistý je reprezentován množinou všech možných výsledků. Jedná se o jev, který nastává vždy.