KOMBINATORIKA

Počet takových čísel můžeme zjistit tak, že vypíšeme všechny možnosti, které odpovídají danému zadání.

a) Dvouciferná čísla

12, 13, 14,
21, 23, 24,
31, 32, 34,
41, 42, 43

Z číslic 1, 2, 3, 4 můžeme vytvořit 12 dvouciferných čísel tak, aby se číslice neopakovaly.

b) trojciferná čísla

123, 124, 132, 134, 142, 143

213, 214, 231, 234, 241, 243

312, 314, 321, 324, 341, 342

412, 413, 421, 423, 431, 432

Z číslic 1, 2, 3, 4 můžeme vytvořit 24 trojciferných čísel tak, aby se číslice neopakovaly.

Počet takových čísel můžeme zjistit tak, že vypíšeme všechny možnosti, které odpovídají danému zadání.

a) Dvouciferná čísla

$${V(2,4) = \frac{4!}{(4 - 2)!} = \frac{4!}{2!} = 4\cdot3 = 12}$$

Z číslic 1, 2, 3, 4 můžeme vytvořit 12 dvouciferných čísel tak, aby se číslice neopakovaly.

Našemu zadání odpovídá 12 dvouciferných čísel.

b) trojciferná čísla

$${V(2,4) = \frac{4!}{(4 - 3)!} = \frac{4!}{1!} = 4\cdot3\cdot2 = 24}$$

Z číslic 1, 2, 3, 4 můžeme vytvořit 24 trojciferných čísel tak, aby se číslice neopakovaly.

Tvoříme variace 2. řádu z 15 prvků.

$${V(2, 15) = \frac{15!}{(15 - 2)!} = \frac{15!}{13!} = 15\cdot14 = 210}$$

Mohlo dojít k 210 možnostem volby.

Ze zadání víme, že tvoříme variace 2. řádu z neznámého počtu prvků. Těchto variací je celkem 110.

$${V(2, x) = 110}$$ $${\frac{x!}{(x - 2)!} = 110}$$ $${x \cdot (x - 1) = 110}$$ $${x^2 - x = 110}$$ $${x^2 - x - 110 = 0}$$ $${x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (-110)}}{2} = \frac{1 \pm 21}{2}}$$ $${x_1 = \frac{22}{2} = 11}$$ $${x_1 = \frac{-20}{2} = -10}$$

Ve třídě bylo 11 žáků.

a)

Jedná se o variaci 6. řádu z 9 prvků
$${V(6, 9) = \frac{9!}{(9 - 6)!} = \frac{9!}{3!} = 9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4 = 60 480}$$
Rozvrh na pondělí tak, aby bylo 6 hodin a každý předmět by byl nejvýše jednu hodinu, lze sestavit 60 480 způsoby.

b)

Pokud bude 5 hodin, bude se jednat o variaci 5. řádu z 9 prvků.
$${V(5, 9) = \frac{9!}{(9 - 5)!} = \frac{9!}{4!} = 9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5 = 15 120}$$

Pokud bude 6 hodin, bude se jednat o variaci 6. řádu z 9 prvků.
$${V(6, 9) = \frac{9!}{(9 - 6)!} = \frac{9!}{3!} = 9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4 = 60 480}$$

Pokud bude 7 hodin, bude se jednat o variaci 7. řádu z 9 prvků.
$${V(7, 9) = \frac{9!}{(9 - 7)!} = \frac{9!}{2!} = 9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3 = 181 440}$$

Využijeme kombinatorické pravidlo součtu:
$${V(5, 9) + V(6, 9) + V(7, 9) = 15 120 + 60 480 + 181 440 = 257 040}$$ Rozvrh na pondělí tak, aby bylo nejméně 5 a nejvýše 7 hodin a každý předmět by byl nejvýše jednu hodinu, lze sestavit 257 040 způsoby.

c)

První hodinu bude matematika, zbývajících 5 hodin se snažíme obsadit osmi předměty. Tvoříme tedy variace 5. řádu z 8 prvků.

$${V(5, 8) = \frac{8!}{(8 - 5)!} = \frac{8!}{3!} = 8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4 = 6 720}$$
Rozvrh na pondělí tak, aby bylo 6 hodin, první hodinu byla matematika a každý předmět by byl nejvýše jednu hodinu, lze sestavit 6 720 způsoby.

d)

V tomto případě nesmí být druhou hodinu biologie. Na pozici druhé hodiny tedy bude jeden z 8 předmětů (všechny kromě biologie). Jeden předmět jsme tedy umístili. Zbývá umístit 8 předmětů (teď už i s biologií) na zbývajících 5 míst. Tvoříme tedy variace 5. řádu z 8, které poté následně dle kombinatorického pravidla součinu násobíme osmi (pro obsazení druhé hodiny).

$${8\cdot{V(5, 8)} = 8\cdot\frac{8!}{(8 - 5)!} = 8\cdot\frac{8!}{3!} = 8\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4 = 53 760}$$ Rozvrh na pondělí tak, aby bylo 6 hodin, druhou hodinu nebyla biologie a každý předmět by byl nejvýše jednu hodinu, lze sestavit 53 760 způsoby.

e)

V tomto případě mají být po sobě geografie a chemie. To můžeme docílit pěti způsoby

Zbylé pozice obsadíme pomocí variace 4. řádu ze 7 prvků. Následně pomocí kombinatorického pravidla součinu získáme výsledek.

$${5\cdot{V(4, 7)} = 5\cdot\frac{7!}{(7 - 4)!} = 5\cdot\frac{7!}{3!} = 5\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4 = 4 200}$$ Rozvrh na pondělí tak, aby bylo 6 hodin, geografie a chemie byly bezprostředně po sobě a každý předmět by byl nejvýše jednu hodinu, lze sestavit 4 200 způsoby.

(1) Jednociferná čísla
Jednociferná čísla nesplňují podmínku, že je číslo větší než 14.

(2) Dvouciferná čísla
a) Pokud bude číslo začínat číslicí 1, pak (aby byla splněna podmínka, že je číslo větší než 14) může být na druhé pozici pouze 5 nebo 6. Máme tedy 2 čísla.
b) Pokud číslo začíná číslicí 2, 3, 4, 5 nebo 6, pak máme 5 možností pro výběr druhé číslice. $${5 \cdot 5 = 25}$$ Celkový počet dvouciferných čísel tedy bude: $${2 + 25 = 27}$$

(3) Trojciferná čísla
Jedná se o variace 3. řádu ze 6 prvků.
$${V(3, 6) = \frac{6!}{(6 - 3)!} = \frac{6!}{3!} = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120}$$

(4) Čtyřciferná čísla
Jedná se o variace 4. řádu ze 6 prvků.
$${V(4, 6) = \frac{6!}{(6 - 4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360}$$

(5) Pěticiferná čísla
Jedná se o variace 5. řádu ze 6 prvků.
$${V(5, 6) = \frac{6!}{(6 - 5)!} = \frac{6!}{1!} = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 720}$$

(6) Šesticiferná čísla
Jedná se o variace 6. řádu ze 6 prvků.
$${V(6, 6) = \frac{6!}{(6 - 6)!} = \frac{6!}{0!} = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720}$$

Nyní, když sečteme výsledky z jednotlivých částí, získáme celkový počet možností: $${2 + 5\cdot5 + V(3, 6) + V(4, 6) + V(5, 6) + V(6, 6) = 2 + 25 + 120 + 360 + 720 + 720 = 1~947}$$

Z číslic 1, 2, 3, 4, 5, 6 lze vytvořit 1 947 čísel větších než 14.

$${20 \cdot V(2, x) = V(4, x)}$$ $${20 \cdot \frac{x!}{(x - 2)!} = \frac{x!}{(x - 4)!}}$$ $${20 \cdot x \cdot (x - 1) = x \cdot (x - 1) \cdot (x - 2) \cdot (x - 3)}$$ $${20 = (x - 2) \cdot (x - 3)}$$ $${20 = (x - 2) \cdot (x - 3)}$$ $${x^2 - 5x - 14 = 0}$$ $${x_1 = -2}$$ $${x_2 = 7}$$

Je třeba vzít 7 prvků.

$${V(m - 5, m - 1) \cdot V(10 - m, 9) = \frac{(m - 1)!}{[(m - 1) - (m - 5)]!} \cdot \frac{9!}{[9 - (10 - m)]!} = \frac{(m - 1)!}{4!} \cdot \frac{9!}{(-1 + m)!} = }$$ $${= \frac{(m - 1)!}{4!} \cdot \frac{9!}{(m - 1)!} = \frac{9!}{4!} = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 15 120}$$