KOMBINATORIKA

Platí: $${ (a + b)^n = {n \choose 0}a^n + {n \choose 1}a^{n - 1}b^1 + {n \choose 2}a^{n - 2}b^2 + \dots + {n \choose n - 1}a^{1}b^{n - 1} + {n \choose n}b^n }$$ Výpočet tedy bude v tomto případě následující: $${ \left(2x^3 - \frac{y}{4}\right)^5 = {5 \choose 0}\left(2x^3\right)^5 + {5 \choose 1}\left(2x^3\right)^4\left(-\frac{y}{4}\right)^1 + {5 \choose 2}\left(2x^3\right)^3\left(-\frac{y}{4}\right)^2 + {5 \choose 3}\left(2x^3\right)^2\left(-\frac{y}{4}\right)^3 + {5 \choose 4}\left(2x^3\right)^1\left(-\frac{y}{4}\right)^4 + {5 \choose 5}\left(-\frac{y}{4}\right)^5 }$$ $${ = 1\cdot32x^{15} - 5\cdot16x^{12}\cdot\frac{y}{4} + 10\cdot8x^9\cdot\frac{y^2}{16} - 10\cdot4x^6\cdot\frac{y^3}{64} + 5\cdot2x^3\cdot\frac{y^4}{256} - 1\cdot\frac{y^5}{1024} = 32x^{15} - 20x^{12}y + 5x^9y^2 - \frac{5}{8}x^6y^3 + \frac{5}{128}x^3y^4 - \frac{1}{1024}y^5 }$$ Výsledek: $${ \left(2x^3 - \frac{y}{4}\right)^5 = 32x^{15} - 20x^{12}y + 5x^9y^2 - \frac{5}{8}x^6y^3 + \frac{5}{128}x^3y^4 - \frac{1}{1024}y^5 }$$

$${\left(\sqrt{2} + \sqrt{3}\right)^6 = {6 \choose 0}\left(\sqrt{2}\right)^6 + {6 \choose 1}\left(\sqrt{2}\right)^5\left(\sqrt{3}\right)^1 + {6 \choose 2}\left(\sqrt{2}\right)^4\left(\sqrt{3}\right)^2 + {6 \choose 3}\left(\sqrt{2}\right)^3\left(\sqrt{3}\right)^3 + {6 \choose 4}\left(\sqrt{2}\right)^2\left(\sqrt{3}\right)^4 + {6 \choose 5}\left(\sqrt{2}\right)^1\left(\sqrt{3}\right)^5 + {6 \choose 6}\left(\sqrt{3}\right)^6 = }$$ $${ = 1\cdot8 + 6\cdot4\sqrt{2}\sqrt{3} + 15\cdot4\cdot3 + 20\cdot2\sqrt{2}\cdot3\sqrt{3} + 15\cdot2\cdot9 + 6\cdot\sqrt{2}\cdot9\sqrt{3} + 1\cdot27 = 8 + 24\sqrt{6} + 180 + 120\sqrt{6} + 270 + 54\sqrt{6} + 27 = }$$ $${= 485 + 198\sqrt{6}}$$

Číslo 1,05 můžeme zapsat jako součet ${\left(1 + \frac{5}{100}\right)}$.

Řešíme tedy binomický rozvoj $${\left(1 + \frac{5}{100}\right)^{10}}$$

$${\left(1 + \frac{5}{100}\right)^{10} = {10 \choose 0}1^{10} + {10 \choose 1}1^{9}\left(\frac{5}{100}\right)^1 + + {10 \choose 2}1^{8}\left(\frac{5}{100}\right)^2 + {10 \choose 3}1^{8}\left(\frac{5}{100}\right)^3 + {10 \choose 4}1^{7}\left(\frac{5}{100}\right)^4 + \dots = 1 + 10\cdot\frac{5}{100} + 45\cdot\frac{25}{10~000} + 120\cdot\frac{125}{1~000~000} + }$$ $${+ 210\cdot\frac{625}{100~000~000} \dots = 1 + \frac{1}{2} + \frac{9}{80} + \frac{3}{200} + \frac{21}{16000} = 1 + 0,5 + 0,1125 + 0,015 + 0,0013125 + \dots = 1,6288125 \doteq 1,63}$$

Pozn: Použili jsme pouze prvních 5 členů binomického rozvoje, protože u požadované přesnosti na setiny nám již další členy výsledek neovlivní.

Číslo 0,99 můžeme zapsat jako součet ${\left(1 - \frac{1}{100}\right)}$.

Řešíme tedy binomický rozvoj $${\left(1 - \frac{1}{100}\right)^{6}}$$

$${\left(1 - \frac{1}{100}\right)^{10} = {6 \choose 0}1^{6} + {6 \choose 1}1^{5}\left(-\frac{1}{100}\right)^1 + {6 \choose 2}1^{4}\left(-\frac{1}{100}\right)^2 + {6 \choose 3}1^{3}\left(-\frac{1}{100}\right)^3 + \dots = }$$ $${= 1 - 6\cdot\frac{1}{100} + 15\cdot\frac{1}{10~000} - 20\cdot\frac{1}{1~000~000} + \dots = 1 - 0,06 + 0,0015 - 0,000020 = 0.94148 \doteq 0,941}$$

Pozn: Použili jsme pouze první 4 členy binomického rozvoje, protože u požadované přesnosti na tisíciny nám již další členy výsledek neovlivní.

$${ {15 \choose 9 - 1}\left(2x^3\right)^{15 - (9 - 1)}\left(\frac{\sqrt{2}}{x}\right)^{9 - 1} = {15 \choose 8}\left(2x^3\right)^{7}\left(\frac{\sqrt{2}}{x}\right)^{8} = \frac{15!}{8!\cdot7!}\cdot 2^7\cdot x^{21}\cdot\frac{2^4}{x^{8}} = 6435\cdot2^{11}\cdot x^{13} = 13~178~880\cdot x^{13} }$$

Budeme uvažovat vzorec pro k-tý člen binomického rozvoje: $${ {n \choose k - 1}a^{n - (k - 1)}b^{k - 1} }$$

Tedy: $${ {12 \choose k - 1}\left(\frac{1}{p^2}\right)^{12 - (k - 1)}\left(4p^4\right)^{k - 1} = {12 \choose k - 1}\frac{1}{p^{2(13 - k)}}4^{k - 1}p^{4(k - 1)} = }$$ Výraz ${{12 \choose k - 1}\cdot 4^{k - 1}}$ nahradíme konstantou ${C}$, protože se bude jednat o konstantní hodnotu a proměnnou ${p}$ neovlivní. $${ = C\cdot \frac{p^{4(k - 1)}}{p^{2(13 - k)}} = C \cdot p^{4(k - 1) - 2(13 - k)} = C \cdot p^{4k - 4 - 26 + k} = C \cdot p^{5k - 30} }$$

Člen ${p^{5k - 30}}$ musí být roven roven ${p^{10}}$. Řešíme tedy rovnici: $${p^{5k - 30} = p^{10}}$$ $${5k - 30 = 10}$$ $${5k = 40}$$ $${k = 8}$$

Proměnnou ${p^{10}}$ nebude obsahovat 8. člen daného binomického rozvoje.

Budeme uvažovat vzorec pro k-tý člen binomického rozvoje: $${ {n \choose k - 1}a^{n - (k - 1)}b^{k - 1} }$$

Tedy: $${ {8 \choose k - 1}\left(\frac{1}{x}\right)^{8 - (k - 1)}\left(2x^3\right)^{k - 1} = {8 \choose k - 1}\frac{1}{x^{9 - k}}\cdot 2^{k - 1} \cdot x^{3(k - 1)} = }$$ Výraz ${{8 \choose k - 1}\cdot 2^{k - 1}}$ nahradíme konstantou ${C}$, protože se bude jednat o konstantní hodnotu a proměnnou ${x}$ neovlivní. $${ = C\cdot \frac{1}{x^{9 - k}} \cdot x^{3k - 3} = C \cdot x^{3k - 3 - (9 - k)} = C \cdot x^{4k - 12} }$$

Aby se proměnná ${x}$ v daném výrazu nevyskytovala, musí být člen ${x^{4k - 12}}$ roven ${x^{0}}$. Řešíme tedy rovnici: $${x^{4k - 12} = x^{0}}$$ $${4k - 12 = 0}$$ $${4k = 12}$$ $${k = 3}$$

Hodnota členu bude: $${{8 \choose k - 1}\cdot 2^{k - 1}\cdot x^{0} = {8 \choose 3 - 1}\cdot 2^{3 - 1}\cdot x^{0} = 28\cdot4 = 112}$$

Proměnnou x nebude obsahovat 3. člen daného binomického rozvoje.

U prvního členu se postupně vyskytují mocniny 0, 1, 2, ..., 20, u druhého naopak 20, 19, 18, ..., 0. Odmocninu můžeme zapsat také jako racionální mocninu (např. tedy ${\sqrt[3]{2}}$ lze zapsat jako ${2^\frac{1}{3}}$). Hledáme tedy takové členy binomického rozvoje, kde se daná odmocnina vykrátí s mocninou u obou členů.

${\sqrt[3]{2}}$	20	19	18	17	16	15	14	13	12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
${\sqrt{3}}$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20

Zadaný binomický rozvoj bude mít 4 racionální členy.

Dědičnost kvantitativních znaků je většinou genotypově podmíněna geny malého účinku. Ty se vzájemně ovlivňují a tvoří dohromady polygenní systém (např. tělesná výška, hmotnost, krevní tlak). Geny velkého účinku - jeden gen má velký fenotypový účinek. Na tvorbě znaku (většinou) kvalitativního se podílí málo genů, často pouze jeden. Vliv prostředí je malý.

Velký počet genů znamená široké spektrum odlišných genotypů a fenotypů. Poměrná zastoupení jedinců s různě intenzivním fenotypovým projevem matematicky odpovídají normálnímu rozložení četností na Gaussově křivce.

Polygenní systém může být složen ze dvou typů alel: a (aktivní alela – zvyšuje hodnotu znaku), b (neutrální alela – nezvyšuje hodnotu znaku). Přenos obou typů alel probíhá podle pravidel hybridizace.

Výsledná hodnota znaku je ${(a + b)^n}$

$${(a + b)^6 = 1a^6b^0 + 6a^5b^1 + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6a^1b^5 + 1a^0b^6}$$

Četnost aktivních alel	6	5	4	3	2	1	0
Četnost neutrálních alel	0	1	2	3	4	5	6
Četnost fenotypu	1	6	15	20	15	6	1
Hodnota fenotypu	4 kg	3,5 kg	3 kg	2,5 kg	2 kg	1,5 kg	1 kg