a pravděpodobnost
PRAVDĚPODOBNOST
L36: Příklady na procvičení XIII
<< Předchozí lekce | Seznam lekcí | Další lekce >>
Opakovaně házíme kostkou. Určete pravděpodobnost, že při prvním hodu padne liché číslo a při druhém hodu sudé číslo.
Liché číslo padne s pravděpodobností 0,5. Sudé také s pravděpodobností 0,5.
Pravděpodobnost jevu, kdy prvním hodu padne liché číslo a při druhém hodu sudé číslo bude: $${p(A) = 0,5 \cdot 0,5 = 0,25}$$
V osudí je 5 bílých a 3 černé koule. Opakovaně losujeme 3 koule tak, že je do osudí vracíme. Jaká je pravděpodobnost, že:
a) vytáhneme 2krát po sobě bílou kouli?
b) vytáhneme 3krát po sobě kouli stejné barvy?
c) při 3 losováních vytáhneme alespoň jednu černou kouli?
a) vytáhneme 2krát po sobě bílou kouli:
Pravděpodobnost vytažení bílé koule je $${p(b) = \frac{5}{8}}$$
Pravděpodobnost opakovaného vytažení bílé koule je $${p(A) = p(b) \cdot p(b) = \frac{5}{8} \cdot \frac{5}{8} = \frac{25}{64}}$$
b) vytáhneme 3krát po sobě kouli stejné barvy:
Pravděpodobnost vytažení bílé koule je $${p(b) = \frac{5}{8}}$$
Pravděpodobnost vytažení černé koule je $${p(c) = \frac{3}{8}}$$
Pravděpodobnost v tomto případě určíme jako součet pravděpodobností, kdy vytáhneme 3krát černou kouli nebo 3krát bílou kouli.
$${p(b_3) = \frac{5}{8} \cdot \frac{5}{8} \cdot \frac{5}{8} = \frac{125}{512}}$$
$${p(c_3) = \frac{3}{8} \cdot \frac{3}{8} \cdot \frac{3}{8} = \frac{27}{512}}$$
$${p(B) = p(b_3) + p(c_3) = \frac{125}{512} + \frac{27}{512} = \frac{152}{512} = = \frac{19}{64}}$$
c) při 3 losováních vytáhneme alespoň jednu černou kouli:
V tomto případě si pomůžeme jevem opačným: "Při třech losováních nevytáhneme ani jednu černou kouli (vytáhneme 3 bílé)".
$${p(b_3) = \frac{5}{8} \cdot \frac{5}{8} \cdot \frac{5}{8} = \frac{125}{512}}$$
Pravděpodobnost vytažení alespoň jedné černé koule tedy bude:
$${p(C) = 1 - p(b_3) = \frac{125}{512} = \frac{387}{512}}$$
Máme "falešnou" kostku, kde čísla 1 - 6 padají postupně s pravděpodobností 0,2; 0,1; 0,25; 0,1; 0,15 a 0,2. Určete pravděpodobnost, že při dvou po sobě jdoucích hodech padne stejné číslo.
Řešení rozepíšeme na jednotlivé varianty:
a) Padne 2x 1: $${p(1) = 0,2 \cdot 0,2 = 0,04}$$
a) Padne 2x 2: $${p(2) = 0,1 \cdot 0,1 = 0,01}$$
a) Padne 2x 3: $${p(3) = 0,25 \cdot 0,25 = 0,0625}$$
a) Padne 2x 4: $${p(4) = 0,1 \cdot 0,1 = 0,01}$$
a) Padne 2x 5: $${p(5) = 0,15 \cdot 0,15 = 0,0225}$$
a) Padne 2x 6: $${p(6) = 0,2 \cdot 0,2 = 0,04}$$
Následně určíme pravděpodobnost, že na obou kostkách padne stejné číslo: $${p(A) = p(1) + p(2) + p(3) + p(4) + p(5) + p(6) = 0,04 + 0,01 + 0,0625 + 0,01 + 0,0225 + 0,04 = 0,185}$$
Určete pravděpodobnost, že při hodu kostkou padne při druhém hodu nižší číslo než při prvním. Předpokládáme, že všechna čísla padají se stejnou pravděpodobností.
Řešení rozdělíme dle výsledku prvního hodu:
A) U 1. hodu padne 1, u dalšího není možnost nižšího čísla. $${p(A) = \frac{1}{6} \cdot \frac{0}{6} = 0}$$
B) U 1. hodu padne 2, u dalšího může padnout 1. $${p(B) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}}$$
C) U 1. hodu padne 3, u dalšího může padnout 1 nebo 2. $${p(C) = \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{6} = \frac{2}{36}}$$
D) U 1. hodu padne 4, u dalšího může padnout 1, 2 nebo 3. $${p(D) = \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{6} = \frac{3}{36}}$$
E) U 1. hodu padne 5, u dalšího může padnout 1, 2, 3 nebo 4. $${p(E) = \frac{1}{6} \cdot \frac{4}{6} = \frac{4}{36}}$$
F) U 1. hodu padne 6, u dalšího může padnout 1, 2, 3, 4 nebo 5. $${p(F) = \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{36}}$$
Pravděpodobnost jevu M - při prvním hodu padne nižší číslo než při druhém, určíme jako součet jednotlivých pravděpodobností: $${p(M) = p(A) + p(B) + p(C) + p(D) + p(E) + p(F) = 0 + \frac{1}{36} + \frac{2}{36} + \frac{3}{36} + \frac{4}{36} + \frac{5}{36} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}}$$
V osudí jsou 4 zelené, 3 modré a 2 bílé koule. Z osudí losujeme po jedné kouli a poté ji do osudí vracíme. Určete pravděpodobnost, že:
a) vylosujeme 3krát po sobě bílou kouli?
b) vylosujeme zelenou, modrou a bílou kouli v daném pořadí?
c) při 2 losováních vylosujeme alespoň jednou bílou kouli?
a) vylosujeme 3krát po sobě bílou kouli
V osudí je celkem 9 koulí. Pravděpodobnost vytažení bílé koule je ${\frac{2}{9}}$.
Pravděpodobnost zadaního jevu je: $${p(A) = \frac{2}{9} \cdot \frac{2}{9} \cdot \frac{2}{9} = \frac{8}{729}}$$
a) vylosujeme zelenou, modrou a bílou kouli v daném pořadí
V osudí je celkem 9 koulí. Pravděpodobnost vytažení zelené koule je ${\frac{4}{9}}$, modré koule ${\frac{1}{3}}$ a bílé koule je ${\frac{2}{9}}$.
Pravděpodobnost zadaního jevu je: $${p(B) = \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{9} = \frac{8}{243}}$$
c) při 3 losováních vylosujeme alespoň jednou bílou kouli?
Budeme počítat pomocí jevu opačného - nevylosujeme ani jednu kouli.
Pravděpodobnost, že vylosujeme jinou, než bílou kouli, je ${\frac{7}{9}}$
Pravděpodobnost, že 2x nevylosujeme bílou kouli je: $${p(N) = \frac{7}{9} \cdot \frac{7}{9} = \frac{49}{81}}$$
Jev opačný potom bude: $${p(C) = 1 - p(N) = 1 - \frac{49}{81} = \frac{32}{81}}$$
Jaká je pravděpodobnost, že na první tiket sportky vyhraju výhru v 1. pořadí (uhádnu 6 čísel) a na druhý výhru ve 3. pořadí (uhádnu 5 čísel)?
Možnost výhry na prvním tiketu nijak neovlivňuje možnost výhry na druhém tiketu - jedná se tedy o nezávislé pokusy.
Celkový počet možností vsazení čísel: $${N(\Omega) = \binom{49}{6} = \frac{49!}{6! \cdot 43!} = 13~983~816}$$
Počet možností výhry u 1. tiketu: $${N(A_1) = \binom{6}{6} = 1}$$
Pravděpodobnost výhry u 1. tiketu: $${p(A_1) = \frac{1}{13~983~816}}$$
Počet možností výhry u 2. tiketu: $${N(A_2) = \binom{6}{5} \cdot \binom{43}{1} = 6 \cdot 43 = 258}$$
Pravděpodobnost výhry u 2. tiketu: $${p(A_2) = \frac{256}{13~983~816} = \frac{32}{1~747~977}}$$
Pravděpodobnost, že na první tiket sportky vyhraju výhru v 1. pořadí (uhádnu 6 čísel) a na druhý výhru ve 3. pořadí (uhádnu 5 čísel): $${p(A) = p(A_1) \cdot p(A_2) = \frac{1}{13~983~816} \cdot \frac{32}{1~747~977} = \frac{4}{3~055~423~592~529}}$$