a pravděpodobnost
PRAVDĚPODOBNOST
L31: Pravděpodobnost sjednocení dvou náhodných jevů
<< Předchozí lekce | Seznam lekcí | Další lekce >>
V případě náhodných jevů, které se navzájem vylučují, je pravděpodobnost sjednocení dvou náhodných jevů součtem jejich pravděpodobností: $${P(A \cup B) = P(A) + P(B)}$$
Podobný vztah by samozřejmě bylo možné použít i pro sjednocení libovolného počtu jevů, které se navzájem vylučují: $${P(A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n) = P(A_1) + P(A_2) + \dots + P(A_n)}$$
Menší problém nastane v případě, že by byl výše uvedený vztah použit na sjednocení jevů, které se navzájem nevylučují. V tomto případě by se výsledky společné pro oba jevy (průnik těchto jevů) započítali dvakrát. Pro tento případ je nutné původní vzorec upravit: $${P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)}$$
V případě, že se jevy navzájem vylučují, určíme pravděpodobnost jejich sjednocení jako součez jejich pravděpodobností: $${P(A \cup B) = P(A) + P(B)}$$
V případě, že se jevy navzájem nevylučují, je nutné ještě odečíst pravděpodobnost průniku těchto jevů: $${P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)}$$
Jaká je pravděpodobnost, že při hodu kostkou padne liché číslo nebo číslo dělitelné čtyřmi?
Jev A - liché číslo {1, 3, 5} $${P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}}$$
Jev B - číslo dělitelné 4 {4} $${P(B) = \frac{1}{6}}$$
Jevy se vzájemně vylučují, tudíž ${P(A \cup B) = P(A) + P(B)}$:
$${P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}}$$
Jaká je pravděpodobnost, že při hodu kostkou padne liché číslo nebo číslo větší než 3?
Jev A - liché číslo {1, 3, 5} $${P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}}$$
Jev B - číslo větší než 3 {4, 5, 6} $${P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}}$$
Jevy se vzájemně nevylučují, tudíž ${P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)}$.
Určíme ještě ${P(A \cap B)}$. Tato skutečnost nastane u {5}, pravděpodobnost tedy je ${P(A \cap B) = \frac{1}{6}}$.
$${P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}}$$
Rozhodnete, zda se jedná o jevy neslučitelné: P(A) = 0,3, P(B) = 0,55, P(C) = 0,28?
$${P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) = 0,3 + 0,55 + 0,28 = 1,13 > 1}$$
Jedná se o jevy neslučitelné!
Žáci se za domácí úkol měli naučit odpovědi na 10 otázek. Učitel následně zkoušel žáky tak, že vybral náhodně 2 otázky, na které měl žák odpovědět. Michal se naučil vše, až na poslední dvě otázky, které nestihl. Jaká je pravděpodobnost, že se mezi jeho otázkami objeví otázka, kterou neumí odpovědět?
Počet prvků množiny všech možných výsledků je:
$${n = {10 \choose 2} = \frac{10!}{2!\cdot(10 - 2)!} = 45}$$
Otázky, které žák neumí můžeme označit A a B.
Otázka A se bude při zkoušení vyskytovat v 9 případech z celkového počtu výsledků, otázka B také v 9 případech.
Protože skutečnost, že bude při zkoušení otázka A, nevylučuje skutečnost, že bude při zkoušení otázka B, je nutné určit i počet možných výsledků jevu, kdy bude při zkoušení otázka A i B zároveň. To nastane v jednom případě.
$${P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{9}{45} + \frac{9}{45} - \frac{1}{45} = \frac{17}{45}}$$
Pravděpodobnost, že se při zkoušení objeví jedna ze dvou otázek, které se Michal nenaučil je ${\frac{17}{45}}$.
Na základě definice pravděpodobnosti sjednocení dvou náhodných jevů je možné stanovit také pravděpodobnost jevu opačného \\(platí totiž ${P(A) + P(A') = 1}$).
$${P(A') = 1 - P(A)}$$
Jaká je pravděpodobnost, že náhodně zvolené dvouciferné číslo je dělitelné dvěma nebo třema?
Dvouciferných čísel máme 90.
Čísel dělitelných dvěma v tomto rozsahu je 45. Pravděpodobnost výběru čísla dělitelného dvěma tedy je ${P(D_2) = \frac{45}{90} = \frac{1}{2}}$
Čísel dělitelných třema v tomto rozsahu je 30. Pravděpodobnost výběru čísla dělitelného třema tedy je ${P(D_3) = \frac{30}{90} = \frac{1}{3}}$
Musíme ještě zjistit, kolik čísel je dělitelných dvěma i třema zároveň. Tato čísla musíme z našeho výběru vyloučit, aby nebyla započítána dvakrát. Těchto čísel tedy je 15. ${P(D_2 \cap D_3) = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}}$
$${P(D_2 \cup D_3) = P(D_2) + P(D_3) - P(D_2 \cap D_3) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}}$$
- Jaký vzorec platí pro pravděpodobnost sjednocení dvou jevů, které se navzájem vylučují?
- Jaký vzorec platí pro pravděpodobnost sjednocení dvou jevů, které se navzájem nevylučují?
- Jaká je pravděpodobnost jevu opačného?
- Máme balíček karet. Jaká je pravděpodobnost, že při vytažení jedné karty se bude jednat o červenou kartu nebo eso?
- $${P(A \cup B) = P(A) + P(B)}$$
- $${P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)}$$
- $${P(A') = 1 - P(A)}$$
- $${P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{4}{32} - \frac{2}{32} = \frac{9}{16}}$$