Kombinatorika
a pravděpodobnost

PRAVDĚPODOBNOST

L26: Náhodné pokusy a množina všech možných výsledků

<< Předchozí lekce | Seznam lekcí | Další lekce >>

Z historie teorie pravděpodobnosti:

První kroky k teorii náhody učinil v 16. století italský lékař a hazardní hráč Girolamo Cardano, který v roce 1525 shrnul v knize Liber de ludo aleae (Kniha o náhodných hrách) způsob, jak při hodu kostkou přiřadit možným výsledkům číselné hodnoty.

Za základ teorie pravděpodobnosti je považována korespondence mezi francouzskými matematiky Blaisem Pascalem a Pierrem de Fermatem, kteří ve své korespondenci z roku 1654 řeší 200 let starý problém, jak si mají hazardní hráči rozdělit bank, pokud hrají kostky na 5 her a za stavu 2 : 1 je hra předčasně ukončena.

V běžném životě můžeme rozlišit dva základní typy veličin. Prvním typem jsou veličiny deterministické. O těch lze mluvit v případě, kdy za určitých podmínek nastává vždy stejný výsledek.

Druhým typem veličin jsou veličiny náhodné, neboli stochastické, kdy při realizaci pokusu za stejných podmínek lze získat různé (náhodné) výsledky. Teorie pravděpodobnosti je věda, která se zabývá právě těmito veličinami.

Náhodný pokus
Náhodný pokus je každý děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhá. Předpokládá se však, že takový pokus lze neomezeně opakovat. Příkladem takového náhodného pokusu může být hod kostkou, zjištění životnosti elektrického spotřebiče nebo také jedna hra libovolné hazardní hry.

U každého náhodného pokusu je třeba vyjmenovat všechny možné výsledky tohoto pokusu, které se navzájem vylučují. Taková množina je označována pojmem množina všech možných výsledků a označuje se písmenem ${\Omega}$. Jeden konkrétní výsledek náhodného pokusu má označení ${\omega}$.

Pro stanovení pravděpodobnosti je nutné znát hlavně mohutnost této množiny (neboli počet jejich prvků). Tu lze většinou určit pomocí nástrojů kombinatoriky (základní kombinatorická pravidla, variace, kombinace a permutace).

Množina všech možných výsledků obsahuje všechny výsledky pokusu, které se navzájem vylučují. Označuje se písmenem ${\Omega}$. Jeden konkrétní výsledek náhodného pokusu má označení ${\omega}$.
Příklad L26.01:
Zadání

Určete počet prvků množiny všech možných výsledků u hodu dvěma kostkami.

Na každé kostce může padnout jedno ze šesti čísel. $${N(\Omega) = 6 \cdot 6 = 36}$$

Příklad L26.02:
Zadání

Určete počet prvků množiny všech možných výsledků, pokud ze skupiny 10 studentů chceme vybrat libovolné 2.

Nezáleží na pořadí, tudíž se bude jednat o kombinaci 2. řádu z 10 prvků. $${N(\Omega) = C(2, 10) = \binom{10}{2} = \frac{10!}{2! \cdot 8!} = 6 \cdot 6 = 45}$$

Příklad L26.03:
Zadání

Kolika způsoby lze zamíchat balíček 32 karet.

Záleží na pořadí a jedná se o 32-členné skupiny ze 32 prvků. Bude se jednat o permutace. $${N(\Omega) = P(32) = 32!}$$

Příklad L26.04:
Zadání

Kolika způsoby si můžeme nastavit PIN na kartě? U kolika možností bude první číslo 2?

Záleží na pořadí, navíc čísla se mohou opakovat. Bude se jednat o Variace s opakováním. $${N(\Omega) = V'(4, 10) = 10^4 = 10~000}$$

Pokud má být první číslo 2: $${N(\Omega) = 1 \cdot V'(3, 10) = 10^3 = 1~000}$$

Kontrolní otázky
  1. Jaký je rozdíl mezi deterministickým a náhodným pokus?
  2. Jakým písmenem označujeme množinu všech možných výsledků pokusu?
  3. Kolika způsoby si můžeme nastavit heslo k e-mailové schránce, pokud má 5 znaků a použijeme pouze písmena anglické abecedy, kterých je 26?
Řešení
  1. Deterministický pokus dává při opakování za stejných podmínek stejné výsledky, náhodný ne.
  2. ${\Omega}$
  3. $${V'(5, 26) = 26^5}$$

<< Předchozí lekce | Seznam lekcí | Další lekce >>

Copyright © 2014 Ing. Michal Heczko