KOMBINATORIKA

$${P`(1, 2, 3) = \frac{(1 + 2 + 3)!}{1! \cdot 2! \cdot 3!} = \frac{6!}{1! \cdot 2! \cdot 3!} = 60}$$

Protože se v původním slově vyskytují některá písmena vícekrát, bude se jednat o permutaci s opakováním, kde počty jednotlivých písmen budou následující: $${k_M = 1}$$ $${k_I = 4}$$ $${k_S = 4}$$ $${k_P = 2}$$

Hodnoty dosadíme do vzorce pro výpočet počtu permutací s opakováním: $${P`(1, 4, 4, 2) = \frac{(1 + 4 + 4 + 2)!}{1! \cdot 4! \cdot 4! \cdot 2!} = \frac{11!}{1! \cdot 4! \cdot 4! \cdot 2!} = 34~650}$$

Ze slova MISSISSIPPI lze přeskupením písmen sestavit 34 650 slov.

Jedná se o permutaci s opakováním, kde počty jednotlivých předmětů jsou následující: $${k_{cj} = 9}$$ $${k_{ma} = 4}$$ $${k_{pr} = 2}$$ $${k_{hv} = 1}$$ $${k_{vv} = 1}$$ $${k_{tv} = 2}$$ $${k_{pc} = 1}$$

Hodnoty dosadíme do vzorce pro výpočet počtu permutací s opakováním: $${P`(9, 4, 2, 1, 1, 2, 1) = \frac{(9 + 4 + 2 + 1 + 1 + 2 + 1)!}{9! \cdot 4! \cdot 2! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 2! \cdot 1!} = \frac{20!}{9! \cdot 4! \cdot 2 \cdot 2}= 69~837~768~000}$$

a)

Hodnoty dosadíme do vzorce pro výpočet počtu permutací s opakováním: $${P`(2, 2, 2, 2, 2, 2) = \frac{(2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2)!}{2! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2!} = \frac{12!}{64}= 7~484~400}$$

b)

V tomto případě bude první pozice pevně obsazená. Budeme tedy obsazovat zbylé pozice tak, že modrou kostku máme 1 a ostatní kostky po dvou.

Hodnoty dosadíme do vzorce pro výpočet počtu permutací s opakováním: $${P`(1, 2, 2, 2, 2, 2) = \frac{(1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2)!}{1! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2!} = \frac{11!}{32}= 1~247~400}$$

Vzorec pro výpočet počtu permutací s opakováním: $${P`(k_{1}, k_{2}, \dots, k_{n}) = \frac{(k_{1} + k_{2} + ~ \dots ~ + k_{n})!}{k_{1}! \cdot k_{2}! \cdot ~ \dots ~ \cdot k_{n}!}}$$

(1) Původní skupina:

Ze zadání víme, že: $${k_1 = k_2 = \dots = k_6 = 1}$$ $${k_7 = x}$$

Dosadíme: $${P`_1(1, 1, 1, 1, 1, 1, x) = \frac{(1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + x)!}{1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot x!} = \frac{(x + 6)!}{x!}}$$

(2) Nová skupina:

Ze zadání víme, že: $${k_1 = k_2 = \dots = k_6 = 1}$$ $${k_7 = x + 2}$$

Dosadíme: $${P`_2(1, 1, 1, 1, 1, 1, x + 2) = \frac{(1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + x + 2)!}{1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot (x + 2)!} = \frac{(x + 8)!}{(x + 2!}}$$

3. Porovnání:

$${P`_1(1, 1, 1, 1, 1, 1, x) = 2 \cdot P`_2(1, 1, 1, 1, 1, 1, x + 2)}$$ $${2 \cdot \frac{(x + 6)!}{x!} = \frac{(x + 8)!}{(x + 2!}}$$ $${2 = \frac{(x + 8) \cdot (x + 7)}{(x + 2) \cdot (x + 1)}}$$ $${2 \cdot (x + 2) \cdot (x + 1) = (x + 8) \cdot (x + 7)}$$ $${2 \cdot (x^2 + 3x + 2) = x^2 + 15x + 56}$$ $${2x^2 + 6x + 4) = x^2 + 15x + 56}$$ $${x^2 - 9x - 52 = 0}$$ $${x_{1,2} = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-52)}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{289}}{2} = \frac{9 \pm 17}{2}}$$ $${x_1 = 13}$$ $${x_2 = -4}$$

Protože počet prvků musí být kladné číslo, má úloha jediné řešení a tím je 13.

Ve vybrané skupině nebude záležet na pořadí. Je tedy třeba zjistit počet kombinací s opakováním čtvrtého řádu ze třinácti prvků. $${K`(4, 13) = \binom{13 + 4 - 1}{4} = \binom{16}{4} = \frac{16!}{4! \cdot (16 - 4)!} = \frac{16!}{4! \cdot 12!} = 1~820}$$

Můžeme získat 1 820 různých čtveřic karet.

Na každé kostce může padnout jedno z 6 čísel. Protože jsou všechny kostky stejné, jedná se o kombinaci s opakováním 6. řádu z 6 prvků.

$${K`(6, 6) = \binom{6 + 6 - 1}{6} = \binom{11}{6} = \frac{11!}{6! \cdot (11 - 6)!} = \frac{11!}{6! \cdot 5!} = 462}$$

V případě hodu 6 stejnými kostkami můžeme získat 462 různých výsledků.

Tvoříme šestičlenné skupiny ze 3 druhů sirupů. Bude se jednat o kombinaci s opakováním šestého řádu ze tří prvků.

$${K`(6, 3) = \binom{3 + 6 - 1}{6} = \binom{8}{6} = \frac{8!}{6! \cdot (8 - 6)!} = \frac{8!}{6! \cdot 2!} = 28}$$

Máme 28 možností nákupu sirupů.

Rozměry kvádru jsou trojice (délka, šířka, výška) u kterých nebude záviset na pořadí. Tvoříme tedy kombinace s opakováním 3. řádu z 10.

$${K`(3, 10) = \binom{10 + 3 - 1}{3} = \binom{12}{3} = \frac{12!}{3! \cdot (12 - 3)!} = \frac{12!}{3! \cdot 9!} = 220}$$

V případě krychlí musí být délka, šířka i výška stejná (jedná se tedy o trojice $${(1, 1, 1), (2, 2, 2), \dots, (10, 10, 10)}$$ Krychlí tedy bude 10.

a)

Bude se jednat o kombinace s opakováním 30. řádu ze 6 prvků. $${K`(30, 6) = \binom{30 + 6 - 1}{30} = \binom{35}{30} = \frac{35!}{30! \cdot (35 - 30)!} = \frac{35!}{30! \cdot 5!} = 324~632}$$

b)

V tomto případě je už pevně nastaveno, kdo dostane ${6 \cdot 4 = 24}$ jablek, zbývá určit, kdo dostane zbylých 6 jablek. Budeme tedy tvořit kombinace s opakováním 6. řádu ze 6 prvků.

$${K`(6, 6) = \binom{6 + 6 - 1}{6} = \binom{11}{6} = \frac{11!}{6! \cdot (11 - 6)!} = \frac{11!}{6! \cdot 5!} = 462}$$