KOMBINATORIKA

a)

Tvoříme permutace z 12 prvků.

$${P(12) = 12! = 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 479~001~600}$$

Žáci se mohou usadit k počítačům 479 001 600 způsoby.

b)

Adam s Barborou budou sedět vedle sebe v následujících situacích:

AB**********  BA**********

*AB*********  *BA*********

**AB********  **BA********

***AB*******  ***BA*******

****AB******  ****BA******

*****AB*****  *****BA*****

******AB****  ******BA****

*******AB***  *******BA***

********AB**  ********BA**

*********AB*  *********BA*

**********AB  **********BA

Adam s Barborou tedy budou sedět vedle sebe ve 22 případech (11 případů v pořadí AB, 11 v opačném pořadí). Zbylých 10 míst musíme ve všech případech doplnit zbývajícími studenty.

Počet způsobů tedy bude: $${p = 22 \cdot P(10) = 22 \cdot 10! = 22 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 79~833~600}$$

Žáci se mohou usadit k počítačům tak, aby seděli vedle sebe Adam s Barborou 79 833 600 způsoby.

a)

Jedná se o permutaci z 6 prvků.

$${P(6) = 6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720}$$

b)

Prvním předmětem bude matematika. Zbylých 5 předmětů

Jedná se tedy o permutaci z 5 prvků.

$${P(5) = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120}$$

c)

Pokud první hodinu nebude fyzika, máme 5 možností pro výběr předmětu pro 1. hodinu. Další hodiny budeme vybírat ze zbylých 5 předmětů, tedy pomocí permutace z 5.

$${5 \cdot P(5) = 5 \cdot 5! = 5 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 600}$$

d)

Matematika bezprostředně před fyzikou může být v 5 případech:

MF****

*MF***

**MF**

***MF*

****MF

Zbylé 4 předměty vybíráme pomocí permutace ze 4. prvků.

$${5 \cdot P(4) = 5 \cdot 4! = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120}$$

e)

Matematika bezprostředně před fyzikou může být v 15 případech:

MF**** M*F*** M**F** M***F* M****F

*MF*** *M*F** *M**F* *M***F

**MF** **M*F* **M**F

***MF* ***M*F

****MF

Zbylé 4 předměty vybíráme pomocí permutace ze 4. prvků.

$${15 \cdot P(4) = 15 \cdot 4! = 5! = 15 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 360}$$

Hledáme čísla ve tvaru *1**5***9*. 3 čísla máme napevno dána a zbylých 7 míst potřebujeme obsadit 7 čísly. Řešíme tedy permutaci bez opakování ze 7 prvků.

$${P(7) = 7! = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5~040}$$

Počet pěticiferných čísel zjistíme pomocí permutace z 5 prvků. $${P(5) = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120}$$

Pokud by dané číslo mělo mělo začínat 5 nebo 7, máme 2 možnosti pro určení první cifry. Zbylé 4 cifry vybíráme ze 4 číslic, tedy pomocí permutace ze 4 prvků. $${2 \cdot P(4) = 2 \cdot 4! = 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 48}$$

Počet pěticiferných čísel zjistíme pomocí permutace z 6 prvků. $${P(6) = 6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720}$$

Pokud první číslice nemá být 5 a zároveň číslo má končit na 7, tak první číslici vybíráme ze 4 prvků a další 4 opět ze 4. $${4 \cdot P(4) = 4 \cdot 4! = 4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 96}$$

Prvky v dané permutaci jsou 2

Víme, že počet permutací získáme pomocí faktoriálu, tedy ${P(n) = n! = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot~\dots~\cdot 2 \cdot 1}$

Když budeme postupovat z opačného směru, můžeme dělit dané číslo 2, výsledek 3 atd., až nám při dělení číslem n vyjde podíl 1. Potom číslo n je počet prvků, ze kterých jsme tvořili dané permutace.

$${362~880 : 2 = 181~440}$$

$${181~440 : 3 = 60~480}$$

$${60~480 : 4 = 15~120}$$

$${15~120 : 5 = 3~024}$$

$${3~024 : 6 = 504}$$

$${504 : 7 = 72}$$

$${72 : 8 = 9}$$

$${9 : 9 = 1}$$

362 880 permutací vytvoříme z 9 prvků

Víme, že počet permutací získáme pomocí faktoriálu, tedy ${P(n) = n! = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot~\dots~\cdot 2 \cdot 1}$

Když budeme postupovat z opačného směru, můžeme dělit dané číslo 2, výsledek 3 atd., až nám při dělení číslem n vyjde podíl 1. Potom číslo n je počet prvků, ze kterých jsme tvořili dané permutace.

$${39~916~800 : 2 = 19~958~400}$$

$${19~958~400 : 3 = 6~652~800}$$

$${6~652~800 : 4 = 1~663~200}$$

$${1~663~200 : 5 = 332~640}$$

$${332~640 : 6 = 55~440}$$

$${55~440 : 7 = 7~920}$$

$${7~920 : 8 = 990}$$

$${990 : 9 = 110}$$

$${110 : 10 = 11}$$

$${11 : 11 = 1}$$39 916 800 permutací vytvoříme z 11 prvků