KOMBINATORIKA

a) $${V(3, 10) = \frac{10!}{(10 - 3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720}$$

b) $${V(5, 40) = \frac{40!}{(40 - 5)!} = \frac{40!}{35!} = 40 \cdot 39 \cdot 38 \cdot 37 \cdot 36 = 78~960~960}$$

c) $${V(6, 30) = \frac{30!}{(30 - 6)!} = \frac{30!}{24!} = 30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 = 427~518~000}$$

d) $${V(7, 7) = \frac{7!}{(7 - 7)!} = \frac{7!}{0!} = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5~040}$$

$${V(2, 5) \cdot V(2,4) \cdot V(2,3) = \frac{5!}{(5 - 2)!} \cdot \frac{4!}{(4 - 2)!} \cdot \frac{3!}{(3 - 2)!} = \frac{5!}{(!} \cdot \frac{4!}{2!} \cdot \frac{3!}{1!} = 5 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 = 1~440}$$

$${V(2, x - 2) + V(2, x + 1) = 22}$$ $${\frac{(x - 2)!}{(x - 2 - 2)!} + \frac{(x + 1)!}{(x + 1 - 2)!} = 22}$$ $${\frac{(x - 2)!}{(x - 4)!} + \frac{(x + 1)!}{(x - 1)!} = 22}$$ $${(x - 2)\cdot(x - 3) + (x + 1)\cdot x = 22}$$ $${x^2 - 5x + 6 + x^2 + x = 22}$$ $${2x^2 - 4x + 6 = 22}$$ $${2x^2 - 4x - 16 = 0}$$ $${x^2 - 2x - 8 = 0}$$ Dle Vietových vzorců zjistíme, že ${x_1 = -2}$ a ${x_2 = 4}$
Protože řešíme v oboru přirozených čísel, je jediným řešením číslo 4.

Vytváříme variace 3. řádu ze 14. prvků. $${V(3, 14) = \frac{14!}{(14 - 3)!} = \frac{14!}{11!} = 14 \cdot 13 \cdot 12 = 2~184}$$

Vytváříme variace 10. řádu ze 350. prvků. $${V(10, 350) = \frac{350!}{(350 - 10)!} = \frac{350!}{340!} = 350 \cdot 349 \cdot 348 \cdot 347 \cdot 346 \cdot 345 \cdot 344 \cdot 343 \cdot 342 \cdot 341 = 24~228~717~799~196~623~803~552~000}$$

Vytváříme variace 2. řádu ze 30. prvků. $${V(2, 30) = \frac{30!}{(30 - 2)!} = \frac{30!}{28!} = 30 \cdot 29 = 870}$$

Vytváříme variace 5. řádu z 10 prvků. $${V(5, 10) = \frac{10!}{(10 - 5)!} = \frac{10!}{5!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 30~240}$$

a)
Vytváříme variace 3. řádu z 6 prvků. $${V(3;6) = \frac{6!}{(6 - 3)!} = \frac{6!}{3!} = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120}$$

b)
Žlutá je na 1. pozici. Zbylé dvě pozice obsadíme pomocí variace 2. řádu z 5 prvků. $${V(2;5) = \frac{5!}{(5 - 2)!} = \frac{5!}{3!} = 5 \cdot 4 = 20}$$

c)
Žlutá může být na jedné ze 3 pozic. Zbylé dvě pozice obsadíme pomocí variace 2. řádu z 5 prvků. $${3 \cdot V(2;5) = 3 \cdot \frac{5!}{(5 - 2)!} = 3 \cdot \frac{5!}{3!} = 3 \cdot 5 \cdot 4 = 60}$$

d)
Na první pozici vybíráme jednu z 5 barev. Na zbylé pozice potom 2 ze zbývajících pěti barev. $${5 \cdot V(2;5) = 5 \cdot \frac{5!}{(5 - 2)!} = 5 \cdot \frac{5!}{3!} = 5 \cdot 5 \cdot 4 = 100}$$

e)
Označme si červenou barvu "Č" a modrou barvu "M". Naše vlajka může mít barvy ČM* nebo *ČM. Na pozici "*" můžeme vybrat jednu ze 4 barev. Počet variací bude tedy ${2 \cdot 4 = 8}$

Počet čtyřciferných čísel vytvořime jako variaci 4. řádu ze 4 čísel. Na první pozici však nesmí být nula. Musíme tedy odečíst všechny varianty čísel ve tvaru 0***, tj. variace 3. řádu ze 3. čísel.
$${V(4, 4) - V(3, 3) = \frac{4!}{(4 - 4)!} - \frac{3!}{(3 - 3)!} = \frac{4!}{0!} - \frac{3!}{0!} = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 - 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 - 6 = 18}$$

a)
Tvoříme variace 5. řádu ze 7 prvků. Číslo však nesmí začínat nulou, proto musíme odečíst všechny čísla, která začínají nulou, která jsou ve tvaru 0****, tedy variace 4. řádu ze 6 prvků. $${V(5, 7) - V(4, 6) = \frac{7!}{(7 - 5)!} - \frac{6!}{(6 - 4)!} = \frac{7!}{2!} - \frac{6!}{2!} = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 - 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 2520 - 360 = 2160}$$

b)
Pokud je číslo dělitelné pětí, musí končit číslovkou 0 nebo 5.
Pokud bude končit číslovkou 0, nemusíme řešit možnost, že bude na první pozici číslice 0. Tvoříme tedy variace 4. řádu z 6 prvků. $${V(4, 6) = \frac{6!}{(6 - 4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360}$$
Pokud bude končit číslovkou 5, tvoříme opět variace 4. třídy ze 6 prvků, avšak musíme odečíst čísla začínající nulou, tj. čísla ve tvaru 0***5. Odečítáme tedy variace 3. třídy z 5 prvků. $${V(4, 6) - V(3, 5) = \frac{6!}{6 - 4)!} - \frac{5!}{(5 - 3)!} = \frac{6!}{2!} - \frac{5!}{2!} = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 - 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360 - 60 = 300}$$
Následně dle kombinatorického pravidla součtu získáme celkový počet, který bude 360 + 300 = 660.

c)
Pokud je číslo sudé, musí (v našem případě) končit číslovkou 0, 2, 4, 6.
Pokud bude končit číslovkou 0, opět nemusíme řešit, zda nulou začíná. Tvoříme tedy čísla ve tvaru ****0, tj. variace 4. řádu z 6 prvků. $${V(4, 6) = \frac{6!}{(6 - 4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360}$$
Pokud bude končit číslovkou 2, 4 nebo 6. Musíme opět vyloučit situaci, kdy dané číslo začíná nulou. Tvoříme tedy variace 4. řádu z 6 prvků, ale opět odečítáme variace 3. řádu z 5 prvků: $${V(4, 6) - V(3, 5) = \frac{6!}{6 - 4)!} - \frac{5!}{(5 - 3)!} = \frac{6!}{2!} - \frac{5!}{2!} = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 - 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360 - 60 = 300}$$
To platí pro jednu možnost volby čísla na poslední pozici. Avšak v tomto případě volíme na poslední pozici jedno ze tří čísel (2, 4, 6). Využijeme pravidlo součinu a získáme ${3 \cdot 300 = 900}$.
Na závěr ještě přičteme variantu, kdy na poslední pozici bude 0. Počet řešení tedy bude 900 + 360 = 1260.

1) V první lavici bez dalších podmínek:
$${V(6, 28) = \frac{28!}{(28 - 6)!} = \frac{28!}{22!} = 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 = 271 252 800}$$

2) V první lavici bude sedět Pavel:
Pavel si vybere jedno ze 6 míst - tedy 6 možností
Zbylých 27 žáků si může vybrat jedno z 5 míst, tedy variace 5. řádu z 27: $${V(5, 27) = \frac{27!}{(27 - 5)!} = \frac{27!}{22!} = 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 = 9 687 600}$$
Pravidlo součinu: $${6 \cdot V(5, 27) = 6 \cdot 9 687 600 = 58 125 600}$$

3) Jana s Evou vedle sebe:
Jana s Evou můžeme umístit na 5 dvojic sousedních míst (1+2, 2+3, ...). Avšak musíme zohlednit i jejich pořadí (může být pořadí Jana a Eva nebo Eva a Jana) - budeme tedy násobit dvakrát.
Zbylá 4 místa obsadíme někým z 26 žáků: $${V(4, 26) = \frac{26!}{(26 - 4)!} = \frac{26!}{22!} = 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 = 358 800}$$
Využijeme pravidlo součinu: $${2 \cdot 5 \cdot V(4, 26) = 2 \cdot 5 \cdot 358 800 = 3 588 000}$$

a) $${V(2, x) = 420}$$ $${x \cdot (x - 1) = 420}$$ $${x^2 - x - 420 = 0}$$ $${x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (-420)}}{2} = \frac{1 \pm 41}{2}}$$ $${x_1 = \frac{42}{2} = 21}$$ $${x_1 = \frac{-40}{2} = -20}$$ 420 dvoučlenných variací lze sestavit z 21 prvků.

b) $${V(2, x) = 1122}$$ $${x \cdot (x - 1) = 1122}$$ $${x^2 - x - 1122 = 0}$$ $${x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (-1122)}}{2} = \frac{1 \pm 67}{2}}$$ $${x_1 = \frac{68}{2} = 34}$$ $${x_1 = \frac{-66}{2} = -33}$$ 420 dvoučlenných variací lze sestavit z 34 prvků.

c) $${V(2, x) = 5500}$$ $${x \cdot (x - 1) = 5550}$$ $${x^2 - x - 5550 = 0}$$ $${x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (-5550)}}{2} = \frac{1 \pm 149}{2}}$$ $${x_1 = \frac{150}{2} = 75}$$ $${x_1 = \frac{-148}{2} = -74}$$ 420 dvoučlenných variací lze sestavit ze 75 prvků.

$${V(4, x) = 5 \cdot V(3, x)}$$ $${\frac{x!}{(x - 4)!} = 5 \cdot \frac{x!}{(x - 3)!}}$$ $${x \cdot (x 1) \cdot (x - 2) \cdot (x - 3) = 5 \cdot x \cdot (x - 1) \cdot (x - 2)}$$ $${x - 3 = 5}$$ $${x = 8}$$

$${V(4, x) = 6 \cdot V(2, x)}$$ $${\frac{x!}{(x - 4)!} = 6 \cdot \frac{x!}{(x - 2)!}}$$ $${x \cdot (x 1) \cdot (x - 2) \cdot (x - 3) = 6 \cdot x \cdot (x - 1)}$$ $${(x - 2) \cdot (x - 3) = 6}$$ $${x^2 - 5x + 6 = 6}$$ $${x^2 - 5x = 0}$$ $${x \cdot (x - 5) = 0}$$ $${x_1 = 0}$$ $${x_2 = 5}$$ Protože počet prvků musí být z oboru přirozených čísel, je daný počet prvků 5.