KOMBINATORIKA
L14: Příklady na procvičení III
<< Předchozí lekce | Seznam lekcí | Další lekce >>
Příklad L14.01:
Ve skříni s oblečením mám devět triček, čtvery kalhoty a troje boty. Kolik možností výběru oblečení (tričko, kalhoty a boty) mám?
Řešení
Dle kombinatorického pravidla součinu:
$${9 \cdot 4 \cdot 3 = 108}$$
Příklad L14.02:
Česká televize pořádala soutěž, které se účastní tříčlenné rodinné týmy složené ze tří generací. V rodině Novákových jsou 2 babičky, jeden dědeček, matka, otec a 3 děti. Kolikati způsoby mohou sestavit svůj rodinný tým?
Řešení
Prarodiče: 3
Rodiče: 2
Děti: 3
Dle kombinatorického pravidla součinu:
$${3 \cdot 2 \cdot 3 = 18}$$
Příklad L14.03:
Z města A do města B vedou 2 cesty a z města B do města C 5 cest. Kolika způsoby se můžeme dostat z města A do města C?
Řešení
Dle kombinatorického pravidla součinu:
$${2 \cdot 5 = 10}$$
Příklad L14.04:
V Evropské Unii je aktuálně 24 úředních jazyků. Kolik dvoujazyčných slovníků musíme mít, abychom mohli zajistit překlad mezi všemi těmito jazyky? Kolik slovníků budeme potřebovat, pokud např. česko-anglický a anglicko-český slovník vychází jako jedna kniha?
Řešení
Máme 24 jazyků. Pro každý jazyk můžeme vybrat jako druhý jazyk jeden z 23 zbývajících jazyků. Počet slovníků tedy získáme výpočtem:
$${24 \cdot 23 = 552}$$
Pokud by byla pro každou dvojici jazyků jedna kniha pro oba směry překladu (např. česko-anglický a anglicko-český slovník), sníží se nám počet potřebných knih na polovinu.
$${\frac{24 \cdot 23}{2} = \frac{552}{2} = 276}$$
Příklad L14.05:
Na mezinárodní výstavě psů se sešlo 8 zlatých retrívrů, 11 labradorských retrívrů,
15 německých ovčáku a 6 kokršpanělů. Kolik možností výběru absolutního vítěze mají rozhodčí?
Řešení
Využijeme kombinatorické pravidlo součtu:
$${8 + 11 + 15 + 6 = 40}$$
Rozhodčí mají 40 možností výběru absolutního vítěze?
Příklad L14.06:
Na mezinárodní výstavě psů se sešlo 8 zlatých retrívrů, 11 labradorských retrívrů,
15 německých ovčáku a 6 kokršpanělů. Kolik možností výběru prvních třech míst mají rozhodčí?
Řešení
Celkem je na výstavě 40 psů.
$${8 + 11 + 15 + 6 = 40}$$
Využijeme kombinatorické pravidlo součinu:
1. místo lze vybrat 40 způsoby, 2. místo 39 způsoby a 3. místo 38:
$${40 \cdot 39 \cdot 38 = 59~280}$$
Rozhodčí mají 59 280 možností výběru prvních 3 míst.
Příklad L14.07:
Všichni studenti 1.C navštěvují alespoň jeden ze dvou kroužků - fotbal a školní sbor. Kroužek fotbalu navštěvuje 12 studentů, do školního sboru chodí 20 studentů. 8 studentů navštěvuje oba kroužky. Kolik studentů je ve třídě?
Řešení
Fotbal (a + b) ... 12
Školní sbor (b + c) ... 20
Oba kroužky (b) ... 8
$${a + 8 = 12}$$
$${a = 4}$$
$${8 + c = 20}$$
$${c = 12}$$
$${a + b + c = 4 + 8 + 12 = 24}$$
Ve třídě je 24 studentů.
Příklad L14.08:
Z města A do města B vede 5 cest.
a) Kolika způsoby se dá dojít tam a zpět?
b) Kolika způsoby se dá dojít tam a zpět, aby se nešlo stejnou cestou tam a zpět?
c) Kolika způsoby se dá dojít tam a zpět, aby se šlo cestou tam nejkratší možnoz cestou (jednou konkrétní) a zpět libovolně?
Řešení
a)
$${5 \cdot 5 = 25}$$
b)
$${5 \cdot 4 = 20}$$
c)
$${1 \cdot 5 = 5}$$
Příklad L14.09:
Z města A se dá cestovat do města C buď přímo, nebo přes město B. Kolika způsoby je možné cestovat z města A do města C?
Řešení
Přímo: 4 cesty
Přes město B: ${2 \cdot 3 = 6}$ cest
Celkem: ${4 + 6 = 10}$ cest
Příklad L14.10:
Z města A se dá cestovat do města C buď přímo, nebo přes město B. Kolika způsoby je možné cestovat z města A do města C a zpět tak, aby nebyla použita pro cestu tam a zpět stejná trasa?
Řešení
Přímo: 4 cesty
Přes město B: ${2 \cdot 3 = 6}$ cest
Tam: ${4 + 6 = 10}$ cest
Zpět: ${4 + 6 - 1 = 9}$ cest
Celkem: ${10 \cdot 9 = 90}$ cest
<< Předchozí lekce | Seznam lekcí | Další lekce >>
