a pravděpodobnost
PRAVDĚPODOBNOST
L32: Příklady na procvičení XI
<< Předchozí lekce | Seznam lekcí | Další lekce >>
Máme balíček 52 karet. Budeme táhnout jednu kartu. Jev A nastane, pokud vytáhneme krále. Jev B nastane, pokud vytáhneme kartu 2, 3 nebo 4. Jaká je pravděpodobnost, že vytáhnu krále nebo kartu 2, 3, 4?
Jedná se o jevy, které se navzájem vylučují.
$${P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}}$$
$${P(B) = \frac{12}{52} = \frac{3}{13}}$$
$${P(A \cup B) = \frac{1}{13} + \frac{3}{13} = \frac{4}{13}}$$
Máme balíček 52 karet. Budeme táhnout jednu kartu. Jev A nastane, pokud vytáhneme srdcovou kartu. Jev B nastane, pokud vytáhneme kartu 2, 3 nebo 4. Jaká je pravděpodobnost, že vytáhnu srdcovou kartu nebo kartu 2, 3, 4?
Jedná se o jevy, které se navzájem nevylučují.
$${P(A) = \frac{1}{4}}$$
$${P(B) = \frac{12}{52} = \frac{3}{13}}$$
$${P(A \cap B) = \frac{3}{52}}$$
$${P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{4} + \frac{3}{13} - \frac{3}{52} = \frac{11}{26}}$$
Hážeme dvěma kostkami. Součet větší než 8 označíme jako jev A. To, že padnou dvě sudá čísla označíme jako jev B. Jaká je pravděpodobnost, že jev padnou dvě sudá čísla nebo součet větší než 8?
Může nastat celkem 36 různých výsledků.
Jev A: součet větší než 8
[4, 5], [4, 6], [5, 5], [5, 6], [6, 6], [6, 5], [6, 4], [5, 4]
8 případů
Jev B: obě čísla sudá
[2, 2], [2, 4], [2, 6], [4, 2], [4, 4], [4, 6], [6, 2], [6, 4], [6, 6]
9 případů
Jev ${A \cap B}$
[4, 6], [6, 6], [6, 4]
Pravděpodobnost sjednocení jevů: $${P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{8}{36} + \frac{9}{36} - \frac{3}{36} = \frac{14}{36} = \frac{7}{18}}$$
Skupina 10 studentů má zvolit 4 své zástupce. Jaká je pravděpodobnost, že mezi zástupci bude Adam nebo Michal?
Jev A - mezi zástupci bude Adam
Jev B - mezi zástupci bude Michal
Tyto jevy se navzájem nevylučují.
Nejprve určíme počet všech možných čtveřic: $${N(\Omega) = \binom{10}{4} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} = 210}$$
Při pevném výběru jednoho studenta obsazujeme již jen 3 místa: $${N(A) = N(M) = \binom{10}{3} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = 120}$$ $${P(A) = P(M) = \frac{120}{210}}$$
Při výpočtu pravděpodobnosti však musíme vyloučit výběr obou studentů (Adama a Michala), protože bychom jej započítali 2x. Ten nastane v následujícím počtu případů: $${N(A \cap M) = \binom{10}{2} = \frac{10!}{2! \cdot 8!} = 45}$$ $${P(A \cap M) = \frac{45}{210}}$$
Nyní již můžeme určit pravděpodobnost výběru Adama nebo Michala: $${P(A \cup M) = P(A) + P(M) - P(A \cap M) = \frac{120}{210} + \frac{120}{210} - \frac{45}{210} = \frac{195}{210} = 0,93}$$
Jaká je pravděpodobnost, že náhodně zvolené dvouciferné číslo je dělitelné třemi nebo pěti?
Dvouciferných čísel máme 90.
Čísel dělitelných třema v tomto rozsahu je 30. Pravděpodobnost výběru čísla dělitelného třema tedy je ${P(D_3) = \frac{30}{90} = \frac{1}{3}}$
Čísel dělitelných pěti v tomto rozsahu je 18. Pravděpodobnost výběru čísla dělitelného dvěma tedy je ${P(D_5) = \frac{18}{90} = \frac{1}{5}}$
Musíme ještě zjistit, kolik čísel je dělitelných třemi i pěti zároveň. Tato čísla musíme z našeho výběru vyloučit, aby nebyla započítána dvakrát. Těchto čísel tedy je 6. ${P(D_3 \cap D_5) = \frac{6}{90} = \frac{1}{15}}$
$${P(D_3 \cup D_5) = P(D_3) + P(D_5) - P(D_3 \cap D_5) = \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{15} = \frac{7}{15}}$$
Rozhodnete, zda se jedná o jevy neslučitelné: P(A) = 0,1, P(B) = 0,25, P(C) = 0,28, P(D) = 0,02?
$${P(A \cup B \cup C \cup D) = P(A) + P(B) + P(C) + P(D) = 0,1 + 0,25 + 0,28 + 0,02 = 0,65 \le 1}$$
Nejedná se o jevy neslučitelné!