PRAVDĚPODOBNOST

a) Jaká je pravděpodobnost, že promění 3 trestné hody?

$${P(A_3) = {3 \choose 3}{0,7}^3 \cdot {0,3}^{3 - 3} = 0,343}$$

b) Jaká je pravděpodobnost, že promění alespoň 7 trestných hodů z 10?

$${P(B_7) = {10 \choose 7}{0,7}^7 \cdot {0,3}^{10 - 7} = 120 \cdot {0,7}^7 \cdot {0,3}^3 = 0,2668}$$

$${P(B_8) = {10 \choose 8}{0,7}^8 \cdot {0,3}^{10 - 8} = 45 \cdot {0,7}^8 \cdot {0,3}^2 = 0,2335}$$

$${P(B_9) = {10 \choose 9}{0,7}^9 \cdot {0,3}^{10 - 9} = 10 \cdot {0,7}^9 \cdot {0,3}^1 = 0,1211}$$

$${P(B_10) = {10 \choose 10}{0,7}^{10} \cdot {0,3}^{10 - 10} = 1 \cdot {0,7}^{10} \cdot {0,3}^0 = 0,0282}$$

$${P(B) = P(B_7) + P(B_8) + P(B_9) + P(B_{10}) = 0,2668 + 0,2335 + 0,1211 + 0,0282 = 0,6496}$$

Při řešení příkladu si pomůžeme jevem opačným. Pravděpodobnost, že nepadne 6 musí být menší než 0,1.

Platí vztah pro Bernoulliho schéma: $${P(A_k) = {n \choose k}p^k(1 - p)^{n - k}}$$

Tedy: $${P(A_0) = {n \choose 0}{\left(\frac{1}{6}\right)}^{0} \cdot {\left(\frac{5}{6}\right)}^{n} = {\left(\frac{5}{6}\right)}^{n}}$$

Musí platit: $${P(A_0) < 0,1}$$

$${{\left(\frac{5}{6}\right)}^{n} < 0,1}$$ $${\log {\left(\frac{5}{6}\right)}^{n} < \log 0,1}$$ $${n \cdot \log {\left(\frac{5}{6}\right)} < \log 0,1}$$ $${-0,0792 \cdot n < -1}$$ $${n > 12,63}$$

Aby pravděpodobnost, že padne 6, byla větší než 0,9, je nutné hodit kostkou alespoň 13 krát.

Označíme si 2 jevy:
A ... náhodně zvolený člověk je kuřák
B ... náhodně zvolený člověk je diabetik

Ze zadání známe:
${p(B) = 0,05}$
${p(A \cup B) = 0,02}$

$${P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0,02}{0,05} = 0,4}$$

Opět si zavedeme 2 jevy:
A ... padne součet 8
B ... na obou kostkách padnou prvočísla

Pro podmíněnou pravděpodobnost platí: $${P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}}$$

Na kostce mohou padnout následující prvočísla: 2, 3, 5. Na obou kostkách padnou prvočísla v ${3 \cdot 3 = 9}$ případech z celkových ${6 \cdot 6 = 36}$ případů. Pravděpodobnost v tomto případě bude: $${P(B) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}}$$

Nyní k určení pravděpodobnostu ${P(A \cup B)}$, která určuje situaci, kdy je součet větší než 7 a na obou kostkách padnou prvočísla.
Této situaci odpovídají následující výsledky: [3, 5], [5, 3] a [5, 5]. Pravděpodobnost tohoto jevu tedy bude následující: $${P(A \cup B) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}}$$

Nyní již můžeme určit podmíněnou pravděpodobnost jevu, kdy při hodu dvěma kostkami padl součet větší než 7, padla-li na obou kostkách prvočísla: $${P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{4}} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} }$$

Uvažujeme 2 náhodné jevy: A - v rodině je více chlapců než děvčat
B - v rodině je alespoň jeden chlapec

Předpokládáme, že pravděpodobnost narození chlapce i dívky je stejná, tj. ${\frac{1}{2}}$.

Pro podmíněnou pravděpodobnost platí: $${P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}}$$

Ze zadání lze odvodit, že ${P(A \cup B} = P(A)}$$ (pokud je více chlapců než děvčat, je jisté, že se narodil alespoň jeden chlapec.

V úvahu přicházejí možnosti DDDDD, DDDDC, DDDCC, DDCCC, DCCCC, CCCCC, kde pouze poslední 3 ze šesti odpovídají našemu požadavku.

${P(A \cup B} = P(A) = \frac{1}{2}}$$

Pro určení pravděpodobnosti jevu B si pomůžeme jevem opačným, kdy v rodině není žádný chlapec: $${P(B) = 1 - P(B') = 1 - {\left(\frac{1}{2}\right)}^5 = 1 - \frac{1}{32} = \frac{31}{32}}$$

Hledaná podmíněná pravděpodobnost tedy bude: $${P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{4}} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} }$$

Pro výpočet celkového výskytu závady typu Y využijeme větu o celkové pravděpodobnosti: $${P(A) = P(B) \cdot P(A | B) + P(B') \cdot P(A | B')}$$

V našem případě máme 2 jevy:
X ... výskyt závady typu X
Y ... výskyt závady typu Y

Vzorec upravíme dle našeho značení: $${P(Y) = P(X) \cdot P(Y | X) + P(X') \cdot P(Y | X')}$$

${P(X) = 0,06}$
${P(X') = 0,94}$
${P(Y | X) = 0,03}$
${P(Y | X') = 0,04}$

Hodnoty dosadíme do vzorce: $${P(Y) = 0,06 \cdot 0,03 + 0,94 \cdot 0,04 = 0,0394}$$