a pravděpodobnost
PRAVDĚPODOBNOST
L38: Podmíněné pravděpodobnosti
<< Předchozí lekce | Seznam lekcí | Další lekce >>
Podmíněná pravděpodobnost řeší situaci, kdy jsou dány jevy $A$ a $B$ a úkolem je zjistit pravděpodobnost jevu $A$ v případě, že nastane jev $B$. Příkladem takové situace může být řešení úkolu, kdy chceme zjistit, jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padne součet 7, pokud na 1. kostce padne liché číslo.
Než bude uvedeno řešení tohoto úkolu, je vhodné definovat vztah pro výpočet podmíněné pravděpodobnosti libovolného jevu $A$ za podmínky jevu $B$
Pro výpočet podmíněné pravděpodobnosti libovolného jevu $A$ za podmínky jevu $B$ platí: $${P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} }$$
Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padne součet 7, pokud na 1. kostce padne liché číslo.
Jevem $A$ označíme situaci, že na obou kostkách padne součet 7.
$${A = \{[1; 6]; [2; 5]; [3; 4]; [4; 3]; [5; 2]; [6; 1]\}}$$
Jevem $B$ označíme situaci, že na 1. kostce padne liché číslo.
$${ B = \{[1; 1]; [1; 2]; [1; 3]; [1; 4]; [1; 5]; [1; 6]; [3; 1]; [3; 2]; [3; 3]; [3; 4]; [3; 5]; [3; 6]; [5; 1]; [5; 2]; \\ [5; 3]; [5; 4]; [5; 5]; [5; 6];\} }$$
Dále je nutné určit množinu výsledků jevu ${A \cap B}$, neboli průnik jevů $A$ a $B$.
$${A \cap B = \{[1; 6]; [3; 4]; [5; 2]\}}$$
Nyní už k výpočtu samotné podmíněné pravděpodobnosti.
Množina všech možných výsledků má 36 prvků, množina ${A \cap B}$ 3 prvky a množina B 18 prvků.
$${P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{3}{36}}{\frac{18}{36}} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6} }$$
Pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padne součet 7, pokud na 1. kostce padne liché číslo, je ${\frac{1}{6}}$.
V lekci L33, která se věnovala nezávislým jevům, byl definován vzorec pro výpočet pravděpodobnosti dvou nezávislých jevů (násobení pravděpodobností): $${P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)}$$
Jak by bylo nutné tento vzorec upravit v případě, že se nejedná o nezávislé jevy? V tomto případě by se využilo podmíněné pravděpodobnosti a upravený vztah by vypadal následovně:
$${P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A | B) = P(A) \cdot P(B | A)}$$
Závěrem je možné ještě definovat vzorec pro celkovou pravděpodobnost.
Pro libovolné jevy A a B takové, že ${P(B) > 0}$ a ${P(B') > 0}$, platí:
$${P(A) = P(B) \cdot P(A | B) + P(B') \cdot P(A | B')}$$
V osudí jsou 2 červené a 4 zelené koule. Z osudí bude dvakrát po sobě losována 1 koule s tím, že po prvním losování nebude koule vrácena zpět. Jaká je pravděpodobnost, že při druhém losování bude vytažena zelená koule?
U prvního losování mohou nastat dvě situace:
- Jev ${C_1}$ ... bude vytažena červená koule,
- Jev ${Z_1}$ ... bude vytažena zelená koule.
Pro pravděpodobnost jevu ${C_1}$ platí:
$${P(C_1) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}}$$
Pro pravděpodobnost jevu ${Z_1}$ platí:
$${P(Z_1) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}}$$
V případě, že bude při prvním losování vytažena červená koule, zůstanou v osudí 1 červená a 4 zelené. V tomto případě bude vytažení zelené koule vyjadřovat pravděpodobnost $${P(Z_2 | C_1)}$$:
$${P(Z_2 | C_1) = \frac{4}{5}}$$
V případě, že bude při prvním losování vytažena zelená koule, zůstanou v osudí 2 červené a 3 zelené. V tomto případě bude vytažení zelené koule vyjadřovat pravděpodobnost $${P(Z_2 | Z_1)}$$:
$${P(Z_2 | Z_1) = \frac{3}{5}}$$
Celková pravděpodobnost tedy bude:
$${P(Z_2) = P(C_1) \cdot P(Z_2 | C_1) + P(Z_1) \cdot P(Z_2 | Z_1) }$$
$${P(Z_2) = \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{5} + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{4}{15} + \frac{6}{15} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}}$$
Pravděpodobnost, že při druhém losování bude vytažena zelená koule, je ${\frac{2}{3}}$.
Pravděpodobnosti z tohoto příkladu je možné zapsat také ve formě stromového grafu, který je zobrazen na níže uvedeném obrázku.
Házíme červenou a modrou kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že bude součet větší než 7, pokud na modré kostce padlo číslo 4?
A ... součet bude větší než 7
B ... na modré kostce padne 4
${P(B) = \frac{1}{6}}$
Součet větší než 7, pokud na modré kostce padne 4: [4, 4], [4, 5] a [4, 6]
${P(A \cup B) = \frac{3}{36}}$
$${P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{3}{36}}{\frac{1}{6}} = \frac{1}{2}}$$
Máme 2 klobouky. V 1. klobouku je 5 černých a 3 bílé kuličky, ve 2. klobouku jsou 2 černé a 5 bílých kuliček. Jaká je pravděpodobnost, že vylosujeme bílou kuličku?
Jev A ... výběr bílé kuličky
Jev B ... výběr 1. klobouku
Jev B' ... výběr 2. klobouku
${P(B) = \frac{1}{2}}$
${P(B') = \frac{1}{2}}$
${P(A | B) = \frac{3}{8}}$
${P(A | B') = \frac{5}{7}}$
Celková pravděpodobnost tedy bude: $${P = P(B) \cdot P(A | B) + P(B') \cdot P(A | B') = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{7} = \frac{3}{16} + \frac{5}{14} = \frac{61}{112} = 0,545}$$
V České republice je 28 % kuřáků. Pravděpodobnost výskytu dané nemoci je u nekuřáka 5 % a u kuřáka 21 %. Jaká je pravděpodobnost výskytu nemoci u libovolného občana ČR?
${P(B) = 0,28}$
${P(B') = 0,72}$
${P(A | B) = 0,21}$
${P(A | B') = 0,05}$
Celková pravděpodobnost výskytu nemoci: $${P = P(B) \cdot P(A | B) + P(B') \cdot P(A | B') = 0,28 \cdot 0,21 + 0,72 \cdot 0,05 = 0,0948}$$
- Co je to "Podmíněná pravděpodobnost"?
- Jaký platí vzorec pro výpočet podmíněné pravděpodobnosti?
- Jak určíme celkovou pravděpodobnost?
- Házíme červenou a modrou kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že na modré kostce padlo číslo 4, pokud je součet obou hodnot roven sedmi?
- Podmíněná pravděpodobnost řeší situaci, kdy jsou dány jevy $A$ a $B$ a úkolem je zjistit pravděpodobnost jevu $A$ v případě, že nastane jev $B$.
- ${P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} }$
- ${P(A) = P(B) \cdot P(A | B) + P(B') \cdot P(A | B')}$
- ${\frac{1}{6}}$