a pravděpodobnost
PRAVDĚPODOBNOST
L37: Binomické rozdělení (Bernoulliovo schéma)
<< Předchozí lekce | Seznam lekcí | Další lekce >>
Pojmem Bernoulliho pokus je označován takový pokus, který má pouze dva možné výsledky. Jeden z výsledků bude označen jako "úspěch", druhý jako "neúspěch".
Jacob Bernoulli byl švýcarský matematik a fyzik, který se narodil v Basileji v rodině belgického obchodníka Mikuláše Bernoulliho. Zajímal se o zákonitosti křivek či mocninné řady a významně přispěl k rozvoji teorie pravděpodobnosti (Binomické rozdělení), variačního počtu. Spolu s bratrem Johannem Bernoullim učinili rozhodující objevy v rozvíjející se matematické analýze.
Na univerzitě v Basileji vystudoval filosofii a teologii, zabýval se také matematikou, fyzikou a astronomií. ři svých cestách po dnešní Anglii, Francii nebo Německu v letech 1681 až 1682 se seznámil nejen s kartézskou matematikou, ale i s dalšími učenci – Janem Huddem, Robertem Boylem či Robertem Hookem. Od roku 1683 přednášel experimentální fyziku v Basileji a věnoval se studiu matematiky, jíž se stal roku 1687 taktéž v Basileji profesorem. Tuto pozici zastával až do své smrti. V roce 1699 se stal členem Francouzské akademie věd a o dva roky později Pruské akademie věd.
V oblasti matematiky se zabýval (v té době novou) oblastí diferenciálního počtu, teorií řad, matematickou indukcí, ale i kombinatorikou a pravděpodobností. Část jeho poznatků se zachovala v jeho nedokončeném díle Ars conjectandi (Umění předpokládat). Dílo bylo vydáno roku 1713 – osm let po jeho smrti.
Pravděpodobnost úspěchu bude označena ${p}$ a pravděpodobnost neúspěchu ${q}$. Protože jsou možné pouze tyto dva výsledky, bude platit ${q = 1 - p}$.
V praxi se lze často setkat s tím, že daný Bernoulliho pokus je opakován několikrát po sobě. Takobvý náhodný pokus je označován jako Bernoulliho schéma s ${n}$ pokusy.
Pravděpodobnost, že všech ${n}$ opakovaných pokusů skončí úspěchem bude ${p^n}$, pokud by všechny skončili neúspěchem, byla by pravděpodobnost ${q^n}$ (nebo ${(1 - p)^n}$), což plyne ze vztahu pro násobení pravděpodobností.
Pravděpodobnost, že z ${n}$ Bernoulliho pokusů skončí právě ${k}$ pokusů úspěchem, lze určit pomocí vzorce, kde jev ${A_k}$ popisuje situaci, že právě ${k}$ pokusů skončí úspěchem: $${ P(A_k) = {n \choose k}p^k(1 - p)^{n - k} \,\,\,\,\,\text{pro } k = 0; 1; \dots ; n }$$
Hráč fotbalu dá gól z pokutového kopu s pravděpodobností 0,6.
a) Jaká je pravděpodobnost, že takto dá 5 gólů?
b) Jaká je pravděpodobnost, že ze 6 pokutových kopů dá alespoň 4 góly?
a) Jaká je pravděpodobnost, že takto dá 5 gólů?
$${P(A_5) = {5 \choose 5}{0,6}^5 \cdot {0,4}^{5 - 5} = 1 \cdot {0,6}^5 \cdot {0,4}^0 = 0,07776}$$
b) Jaká je pravděpodobnost, že ze 6 pokutových kopů dá alespoň 4 góly?
$${P(B_4) = {6 \choose 4}{0,6}^4 \cdot {0,4}^{6 - 4} = 15 \cdot {0,6}^4 \cdot {0,4}^2 = 0,31104}$$
$${P(B_5) = {6 \choose 5}{0,6}^5 \cdot {0,4}^{6 - 5} = 6 \cdot {0,6}^5 \cdot {0,4}^1 = 0,186624}$$
$${P(B_6) = {6 \choose 6}{0,6}^6 \cdot {0,4}^{6 - 6} = 1 \cdot {0,6}^6 \cdot {0,4}^0 = 0,046656}$$
$${P(B) = P(B_4) + P(B_5) + P(B_6) = 0,31104 + 0,186624 + 0,046656 = 0,54432}$$
Žák ve škole řeší test, kde je 10 otázek. Úspěšné složení testu znamená, že odpoví alespoň na 5 otázek správně. Jaká je pravděpodobnost, že žák test úspěšně splní, pokud je u každé otázky správně jedna ze čtyř odpovědí, a bude všechny odpovědi náhodně tipovat?
Pravděpodobnost správné odpovědi je ${p = \frac{1}{4}}$. Pravděpodobnost špatné odpovědi je ${q = 1 - p = \frac{3}{4}}$
Aby žák úspěšně zvládnul test, musí mít správně 5, 6, 7, 8, 9, nebo 10 odpovědí. Pro každou možnost je třeba provést výpočet dle vztahu pro Bernoulliho schéma.
$${P(A_{10}) = {10 \choose 10}\left(\frac{1}{4}\right)^{10}\left(\frac{3}{4}\right)^{0} =\frac{1}{4^{10}}\cdot 1 = \frac{1}{4^{10}} }$$
$${P(A_{9}) = {10 \choose 9}\left(\frac{1}{4}\right)^{9}\left(\frac{3}{4}\right)^{1} =\frac{1}{4^{10}}\cdot 10 \cdot 3 = \frac{1}{4^{10}}\cdot 30}$$
$${P(A_{8}) = {10 \choose 8}\left(\frac{1}{4}\right)^{8}\left(\frac{3}{4}\right)^{2} =\frac{1}{4^{10}}\cdot 45 \cdot 9 = \frac{1}{4^{10}}\cdot 405}$$
$${P(A_{7}) = {10 \choose 7}\left(\frac{1}{4}\right)^{7}\left(\frac{3}{4}\right)^{3} =\frac{1}{4^{10}}\cdot 120 \cdot 27 = \frac{1}{4^{10}} \cdot 3~240}$$
$${P(A_{6}) = {10 \choose 6}\left(\frac{1}{4}\right)^{6}\left(\frac{3}{4}\right)^{4} =\frac{1}{4^{10}}\cdot 210 \cdot 81 = \frac{1}{4^{10}} \cdot 17~010}$$
$${P(A_{5}) = {10 \choose 5}\left(\frac{1}{4}\right)^{5}\left(\frac{3}{4}\right)^{5} =\frac{1}{4^{10}}\cdot 252 \cdot 243 = \frac{1}{4^{10}} \cdot 61~236}$$
Pravděpodobnost úspěšného zvládnutí testu získáme součtem těchto pravděpodobností:
$${P(A) = P(A_{10}) + P(A_{9}) + P(A_{8}) + P(A_{7}) + P(A_{6}) =}$$
$${ = \frac{1}{4^{10}}\left(1 + 30 + 405 + 3~240 + 17~010 + 61~231\right) = \frac{81~971}{1~048~576} = 0,0781}$$
Pravděpodobnost úspěšného zvládnutí testu je 0,0781.
Jaká je pravděpodobnost, že rodina s pěti dětmi má alespoň 4 dívky?
Předpokládejme, že pravděpodobnost narození dívky a chlapce je stejná, tedy ${\frac{1}{2}}$.
4 dívky: $${P(A_4) = {5 \choose 4}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{4} \cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{5 - 4} = 5 \cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{4} \cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{1} = 5 \cdot \frac{1}{32} = 0,15625}$$
5 dívek: $${P(A_5) = {5 \choose 5}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{5} \cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{0} = 1 \cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{5} \cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{0} = \frac{1}{32} = 0,03125}$$
Alespoň 4 dívky: $${P(A) = P(A_4) + P(A_5) = \frac{5}{32} + \frac{1}{32} = \frac{6}{32} = \frac{6}{32} = 0,1875}$$
Jaký je nejmenší počet hodů, aby pravděpodobnost, že padne líc byla větší, než 0,999?
Řešení příkladů můžeme zjednodušit hledáním jevu opačného. Budeme hledat počet hodů takový, že pravděpodobnost, že nepadne líc bude menší než 0,001.
Platí vztah pro Bernoulliho schéma: $${P(A_k) = {n \choose k}p^k(1 - p)^{n - k}}$$
Tedy: $${P(A_0) = {n \choose 0}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{0} \cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n} = {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n}}$$
Musí platit: $${P(A_0) < 0,001}$$
Řešíme tedy rovnici: $${{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n} < 0,001}$$ $${{2}^{-n} < 10^{-3}}$$ $${\log {2}^{-n} < \log 10^{-3}}$$ $${-n \cdot \log {2} < -3 \cdot \log 10}$$ $${-n \cdot \log {2} < -3}$$ $${n > \frac{3}{\log 2}}$$ $${n > 9,93}$$
Musí být provedeno alespoň 10 hodů mincí, aby pravděpodobnost, že padne líc byla větší, než 0,999.
- Co je to "Bernoulliho pokus"?
- Jaký platí vzorec pro binomické rozdělení?
- V testu je 10 otázek a ke každé jsou nabízeny 3 odpovědi (z toho vždy jedna správná). Jaká je pravděpodobnost, že žák absolvuje test úspěšně (odpoví správně alespoň na polovinu otázek) pokud se na test nenaučil a odpovědi volí náhodně?
- Pokus, který má pouze dva možné výsledky. Jeden z výsledků bude označen jako "úspěch", druhý jako "neúspěch".
- ${ P(A_k) = {n \choose k}p^k(1 - p)^{n - k} \,\,\,\,\,\text{pro } k = 0; 1; \dots ; n }$
- 0,21344