a pravděpodobnost
PRAVDĚPODOBNOST
L35: Nezávislé pokusy
<< Předchozí lekce | Seznam lekcí | Další lekce >>
Dílčí pokusy jsou nezávislé, pokud pro všechny možné výsledky ${(\omega_1, \omega_2)}$ platí: $${p(\omega_1, \omega_2) = p_1(\omega_1) \cdot p_2 (\omega_2)}$$.
Výše uvedený vzorec je možné zobecnit i pro více nezávislých pokusů: $${p(\omega_1, \omega_2, \dots \omega_n) = p_1(\omega_1) \cdot p_2 (\omega_2) \cdot \dots \cdot p_n (\omega_n)}$$
Na základě nezávislých pokusů lze také definovat nezávislé jevy.Jsou-li dílčí pokusy nezávislé a je-li jev $A$ dán pouze výsledkem prvního dílčího pokusu a jev $B$ dán výsledkem pouze druhého dílčího pokusu, pak jsou jevy $A$ a $B$ nezávislé.
V osudí jsou 2 červené a 4 zelené koule. Z osudí losujeme postupně 3 koule tak, že kouli vždy do osudí vrátíme. Jaká je pravděpodobnost, že první koule bude červená, druhá zelená a třetí červená?
Jedná se o 3 nezávislé pokusy s následující pravděpodobností: ${p(C_1) = \frac{1}{2}}$, ${p(Z_2) = \frac{1}{4}}$ a ${p(C_3) = \frac{1}{2}}$. Pravděpodobnost tohoto pokusu tedy bude:
$${p(C_1, Z_2, C_3) = p(C_1) \cdot p(Z_2) \cdot p(C_3) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{16}}$$
Pravděpodobnost, že první koule bude červená, druhá zelená a třetí červená je ${\frac{1}{16}}$.
Opakovaně házíme kostkou. Určete pravděpodobnost, že při prvním hodu padne liché číslo a při druhém hodu sudé číslo.
Jedná se o 2 nezávislé pokusy s následující pravděpodobností: ${p(L) = \frac{1}{2}}$, ${p(S) = \frac{1}{2}}$. Pravděpodobnost tohoto pokusu tedy bude:
$${p(L,S) = p(L) \cdot p(S) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}}$$
Rozhodněte, zda se jedná o nezávislé pokusy:
a) 2 hody kostkou,
b) Tažení prvních tří čísel sportky,
c) Hod dvěma mincemi,
d) Tažení dvou koulí z osudí, pokud kouli do osudí vracíme,
e) Tažení dvou koulí z osudí, pokud kouli do osudí nevracíme.
a) Jedná se o nezávislé pokusy. První hod nijak neovlivňuje hod druhý.
b) Nejedná se o nezávislé pokusy. Po vytažení každého čísla se sníží počet čísel v osudí.
c) Jedná se o nezávislé pokusy. Výsledek na první minci nijak neovlivní výsledek na minci druhé.
d) Jedná se o nezávislé pokusy. Výsledek prvního tahu neovlivňuje tah druhý.
e) Nejedná se o nezávislé pokusy. První tah sníží počet koulí v osudí. Tím ovlivníme výsledek tahu druhého.
Máme poškozenou minci, kde rub padá s pravděpodobností 0,7 a líc s pravděpodobností 0,3. Určete s jakou pravděpodobností padne 3krát po sobě stejná strana.
Nejprve určíme pravděpodobnost, že třikrát po sobě padne rub: $${p(R) = 0,7 \cdot 0,7 \cdot 0,7 = 0,343}$$
Následně určime pravděpodobnost, že třikrát po sobě padne líc: $${p(L) = 0,3 \cdot 0,3 \cdot 0,3 = 0,027}$$
Pravděpodobnost, že 3krát po sobě padne stejný symbol určíme jako součet těchto pravděpodobností: $${p(A) = p(L) + p(R) = 0,343 + 0,027 = 0,37}$$
Pravděpodobnost, že na minci padne 3x po sobě stejný symbol bude 0,37.
Koupíme lístky ve třech tombolách. V první tombole vyhrává každý desátý los, ve druhé každý pátý los a ve třetí každý třetí los. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň v jednom losování vyhrajeme?
Při řešení úkolu si pomůžeme jevem opačným: "Nevyhrajeme ani jednu výhru".
1. los:
Pravděpodobnost výhry ${p(V_1) = \frac{1}{10}}$
Pravděpodobnost, že nevyhrajeme ${p(N_1) = \frac{9}{10}}$
2. los:
Pravděpodobnost výhry ${p(V_2) = \frac{1}{5}}$
Pravděpodobnost, že nevyhrajeme ${p(N_2) = \frac{4}{5}}$
3. los:
Pravděpodobnost výhry ${p(V_3) = \frac{1}{3}}$
Pravděpodobnost, že nevyhrajeme ${p(N_3) = \frac{2}{3}}$
Nyní můžeme určit pravděpodobnost, že nevyhraje ani jeden los: $${p(N) = \frac{9}{10} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} = \frac{12}{25}}$$
Následně určíme pravděpodobnost alespoň jedné výhry jako jev opačný: $${p(V) = 1 - p(N) = 1 - \frac{12}{25} = \frac{13}{25}}$$
Pravděpodobnost alespoň jedné výhry je ${\frac{13}{25}}$.
- Jaký vzorec platí pro nezávislé pokusy?
- Najděte alespoň 3 příklady nezávislých pokusů.
- Jaká je pravděpodobnost, že u 5 hodů kostkou padne alespoň jednou šestka?
- $${p(\omega_1, \omega_2) = p_1(\omega_1) \cdot p_2 (\omega_2)}$$
- Například opakované hody mincí, opakované hody kostkou, vsadím jeden tiket sportky a jeden tiket Šťastných 10 apod.
- Pravděpodobnost je $${P(A) = 1 - {\frac{5}{6}}^5 = \frac{4651}{7776}}$$