a pravděpodobnost
PRAVDĚPODOBNOST
L29: Pravděpodobnost náhodného jevu
<< Předchozí lekce | Seznam lekcí | Další lekce >>
Pravděpodobností náhodného jevu lze označit míru očekávatelnosti situace, že daný jev nastane. Čím je pravděpodobnost větší, tím je šance, že daný jev nastave větší.
V následujících příkladech bude použit tzv. klasický pravděpodobnostní model. To je takový model, kdy každý výsledek z n možných výsledků nastává se stejnou pravděpodobností (grafem rozložení četností jednotlivých hodnot daného jevu by byla přímka, popřípadě jednotlivé body, pokud by šlo o diskrétní hodnoty):
$${p(A) = \frac{1}{n}}$$
Kromě klasického pravděpodobnostního modelu existují i další modely. Jedním z nich může být například normální rozdělení, které nachází uplatnění zejména v oblasti přírodních věd a pro popis fyzikálních, technických, či ekonomických veličin. Určitá hodnota zde nastává s nejvyšší pravděpodobnosti a čím větší je odchylka od této hodnoty, tím daná pravděpodobnost klesá. Grafem četnosti je v tomto případě tzv. Gaussova křivka.
Příkladem normálního rozdělení může být rozložení hodnoty IQ v populaci, jehož graf rozdělení četností můžete vidět na obrázku vpravo (kliknutím na náhled obrázku jej můžete zvětšit).
Pravděpodobnost jevu $A$ lze definovat jako součet pravděpodobností všech výsledků náhodného pokusu příznivých jevu $A$. Značí se ${P(A)}$ a platí pro ni vztah:
$${P(A) = \sum_{i = 1}^{n} P(\omega_i) \\ \text{kde jev $A$ je množina }\,A = \{\omega_1; \omega_2; \dots; \omega_n\}}$$
V klasickém pravděpodobnostním prostoru, tedy pokud jsou všechny výsledky náhodného pokusu stejně pravděpodobné, platí následující vztah pro \textbf{pravděpodobnost jevu $A$}:
$${P(A) = \frac{\text{počet příznivých výsledků}}{\text{počet všech možných výsledků}}}$$
Pro pravděpodobnost náhodného jevu platí následující:
- pravděpodobnost jevu nemožného je 0, tedy ${P(\emptyset) = 0}$,
- pravděpodobnost jevu jistého je 1, tedy ${P(\Omega) = 1}$,
- pravděpodobnost libovolného jevu $A$ lze vyjádřit číslem z uzavřeného intervalu od 0 do 1, tedy ${0 \le P(A) \le 1}$.
Máme balíček 52 karet. Určete pravděpodobnost, že:
a) při výběru jedné karty vytáhneme kárové eso,
b) při výběru jedné karty vytáhneme libovolné eso,
c) při výběru jedné karty vytáhneme kartu černé barvy (tj. piky nebo kříže).
Množina všech možných pokusů ${\Omega}$ obsahuje všechny karty, tj. 52 možností.
a) Pravděpodobnost, že při výběru jedné karty vytáhneme kárové eso:
Množina výsledků příznivých danému pokusu obsahuje jednu kartu. Pravděpodobnost tedy bude:
$${P(A) = \frac{1}{52}}$$
b) Pravděpodobnost, že při výběru jedné karty vytáhneme libovolné eso:
Množina výsledků příznivých danému pokusu obsahuje 4 karty (balíček karet obsahuje srdcové, kárové, pikové a křížové eso). Pravděpodobnost tedy bude:
$${P(B) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}}$$
c) Pravděpodobnost, že při výběru jedné karty vytáhneme kartu černé barvy (tj. piky nebo kříže):
Karty černé barvy tvoří polovinu balíčku karet, tedy 26 karet. Pravděpodobnost v tomto případě bude:
$${P(C) = \frac{26}{52} = \frac{1}{2}}$$
Otázka kterou řešili Blaise Pascal a Pierre de Fermat: Hráči A a B hrají kostky na 5 her a za stavu 2 : 1 je hra předčasně ukončena. Jak by si měli rozdělit peníze v banku, aby byly spravedlivě rozděleny?
Zbývají 2 hry. Nejprve je nutné určit všechny možné výsledky pokusu:
- obě hry vyhraje hráč A, v tomto případě by tedy byl výsledek 4 : 1,
- první hru vyhraje hráč A, druhou hráč B, v tomto případě by tedy byl výsledek 3 : 2,
- první hru vyhraje hráč B, druhou hráč A, v tomto případě by tedy byl výsledek 3 : 2,
- obě hry vyhraje hráč B, v tomto případě by tedy byl výsledek 2 : 3.
Jak je patrné z výše uvedeného výčtu, hráč A může vyhrát ve 3 případech, hráč B pouze v jednom případě.
Pravděpodobnost výhry hráče A je:
$${P(A) = \frac{3}{4}}$$
A pravděpodobnost výhry hráče B je:
$${P(B) = \frac{1}{4}}$$
Aby bylo rozdělení výhry spravedlivé, měl by hráč A dostat ${\frac{3}{4}}$ banku a hráč B ${\frac{1}{4}}$ banku.
Jaká je pravděpodobnost, že při hodu třemi kostkami padne na všech kostkách stejné číslo?
Nejprve zjistíme mohutnost množiny všech možných výsledků. Máme 3 kostky a na každé může padnout číslo 1 až 6. Jedná se tedy o variace s opakováním 3. řádu ze 6 prvků: $${N = V'(3, 6) = 6^3 = 216}$$
Dále je potřeba znát počet prvků vyhovující našemu jevu (tedy, že na všech kostkách padnou stejná čísla). To nastane v případech ${[1, 1, 1], [2, 2, 2], [3, 3, 3], [4, 4, 4], [5, 5, 5] a [6, 6, 6]}$. $${n_A = 6}$$
Pravděpodobnost jevu A tedy bude následující: $${p(A) = \frac{n_A}{N} = \frac{6}{216} = \frac{1}{36}}$$
Pravděpodobnost, že na všech třech kostkách padnou stejná čísla je ${\frac{1}{36}}$.
V bedně je 50 výrobků, z toho 5 vadných. Jaká je pravděpodobnost, že mezi náhodně vybranými 6 výrobky bude nejvýše jeden vadný?
Počet způsobů, jakými můžeme vybrat 6 výrobků z 50, určíme jako kombinaci 6. řádu z 50: $${C(6, 50) = \binom{50}{6} = \frac{50!}{6! \cdot 44!} = 15~890~700}$$
Nyní je třeba zjistit, v kolika případech bude nejvýše 1 výrobek vadný. Pokud by nebyl žádný výrobek vadný, bude se jednat o kombinaci 6. řádu ze 45. Pokud by byl 1 výrobek vadný, bude se jednat o součin kombinace 1. řádu z 5 a kombinace 5. řádu ze 45. Počet vyhovujících výsledku tedy bude: $${\binom{45}{6} + \binom{5}{1} \cdot \binom{45}{5} = \frac{45!}{6! \cdot 39!} + \frac{5!}{1! \cdot 4!} \cdot \frac{45!}{5! \cdot 40!} = 8~145~060 + 5 \cdot 1~221~759 = 14~253~855}$$
Pravděpodobnost, že mezi náhodně vybranými 6 výrobky bude nejvýše jeden vadný, tedy bude: $${p(A) = \frac{\binom{45}{6} + \binom{5}{1} \cdot \binom{45}{5}}{\binom{50}{6}} = \frac{14~253~855}{15~890~700} = \frac{19393}{21620} \doteq 0,897}$$
V osudí máme 4 červené a 6 modrých kuliček. Postupně losujeme 3 kuličky. Určete pravděpodobnost, že jedna je modrá a 2 červené, pokud:
a) Vylosované kuličky vracíme zpět do osudí,
b) Vylosované kuličky do osudí nevracíme.
a) Vylosované kuličky vracíme zpět do osudí:
Nejprve je nutné určit množinu všech možných výsledků. V tomto případě kuličky vracíme, takže jde o uspořádanou trojici z 10 kuliček. Počet výsledků tedy bude: $${V'(3, 10) = 10^3 = 1000}$$
Dále je třeba zjistit, kolik prvků má množina výsledků našeho náhodného jevu. Pokud chceme, aby byla vytažena 1 modrá kulička a 2 červené, tak jsou možnosti následující:
(1) [m, č, č] ... těch je ${6 \cdot 4 \cdot 4}$
(2) [č, m, č] ... těch je ${4 \cdot 6 \cdot 4}$
(3) [č, č, m] ... těch je ${4 \cdot 4 \cdot 6}$
Celkový počet možností, kdy je právě jedna kulička modrá je ${3 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 4 = 288}
Pravděpodobnost v tomto případě tedy bude: $${p(A) = \frac{288}{1000} = 0,288}$$
b) Vylosované kuličky do osudí nevracíme:
V tomto případě se jedná o podobný pokus s tím rozdílem, že táhneme všechny 3 kuličky zároveň.
Celkový počet pokusů je dán počtem kombinací 3. řádu z 10 kuliček, tedy: $${C(3, 10) = \binom{10}{3} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = 120}$$
Pokud chceme, aby pouze jedna kulička byla modrá, tak využijeme kombinatorické pravidlo součinu, kde počet možností pro modrou kuličku získáme jako kombinace prvního řádu z 6 kuliček a počet možností pro červenou kuličku jako kombinaci druhého žádu ze 4 kuliček: $${n_B = C(1, 6) \cdot C(2, 4) = \binom{6}{1} \cdot \binom{4}{2} = \frac{6!}{1! \cdot 5!} \cdot \frac{4!}{2! \cdot 2!} = 6 \cdot 6 = 36}$$
Pravděpodobnost v tomto případě tedy bude: $${p(B) = \frac{36}{120} = \frac{3}{10} = 0,3}$$
- Co je to "klasický pravděpodobnostní model"?
- Jak určíme pravděpodobnost jevu A?
- Jakých hodnot může pravděpodobnost nabývat?
- Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostami padne součet větší než 8?
- každý výsledek z n možných výsledků nastává se stejnou pravděpodobností
- ${p(A) = \frac{\text{počet příznivých výsledků}}{\text{počet všech možných výsledků}}}$
- ${0 \le p(A) \le 1}$, kde 0 je pravděpodobnost jevu nemožného a 1 je pravděpodobnost jevu jistého
- ${\frac{5}{18}}$