a pravděpodobnost
PRAVDĚPODOBNOST
L26: Náhodné pokusy a množina všech možných výsledků
<< Předchozí lekce | Seznam lekcí | Další lekce >>
První kroky k teorii náhody učinil v 16. století italský lékař a hazardní hráč Girolamo Cardano, který v roce 1525 shrnul v knize Liber de ludo aleae (Kniha o náhodných hrách) způsob, jak při hodu kostkou přiřadit možným výsledkům číselné hodnoty.
Za základ teorie pravděpodobnosti je považována korespondence mezi francouzskými matematiky Blaisem Pascalem a Pierrem de Fermatem, kteří ve své korespondenci z roku 1654 řeší 200 let starý problém, jak si mají hazardní hráči rozdělit bank, pokud hrají kostky na 5 her a za stavu 2 : 1 je hra předčasně ukončena.
V běžném životě můžeme rozlišit dva základní typy veličin. Prvním typem jsou veličiny deterministické. O těch lze mluvit v případě, kdy za určitých podmínek nastává vždy stejný výsledek.
Druhým typem veličin jsou veličiny náhodné, neboli stochastické, kdy při realizaci pokusu za stejných podmínek lze získat různé (náhodné) výsledky. Teorie pravděpodobnosti je věda, která se zabývá právě těmito veličinami.
U každého náhodného pokusu je třeba vyjmenovat všechny možné výsledky tohoto pokusu, které se navzájem vylučují. Taková množina je označována pojmem množina všech možných výsledků a označuje se písmenem ${\Omega}$. Jeden konkrétní výsledek náhodného pokusu má označení ${\omega}$.
Pro stanovení pravděpodobnosti je nutné znát hlavně mohutnost této množiny (neboli počet jejich prvků). Tu lze většinou určit pomocí nástrojů kombinatoriky (základní kombinatorická pravidla, variace, kombinace a permutace).
Určete počet prvků množiny všech možných výsledků u hodu dvěma kostkami.
Na každé kostce může padnout jedno ze šesti čísel. $${N(\Omega) = 6 \cdot 6 = 36}$$
Určete počet prvků množiny všech možných výsledků, pokud ze skupiny 10 studentů chceme vybrat libovolné 2.
Nezáleží na pořadí, tudíž se bude jednat o kombinaci 2. řádu z 10 prvků. $${N(\Omega) = C(2, 10) = \binom{10}{2} = \frac{10!}{2! \cdot 8!} = 6 \cdot 6 = 45}$$
Kolika způsoby lze zamíchat balíček 32 karet.
Záleží na pořadí a jedná se o 32-členné skupiny ze 32 prvků. Bude se jednat o permutace. $${N(\Omega) = P(32) = 32!}$$
Kolika způsoby si můžeme nastavit PIN na kartě? U kolika možností bude první číslo 2?
Záleží na pořadí, navíc čísla se mohou opakovat. Bude se jednat o Variace s opakováním. $${N(\Omega) = V'(4, 10) = 10^4 = 10~000}$$
Pokud má být první číslo 2: $${N(\Omega) = 1 \cdot V'(3, 10) = 10^3 = 1~000}$$
- Jaký je rozdíl mezi deterministickým a náhodným pokus?
- Jakým písmenem označujeme množinu všech možných výsledků pokusu?
- Kolika způsoby si můžeme nastavit heslo k e-mailové schránce, pokud má 5 znaků a použijeme pouze písmena anglické abecedy, kterých je 26?
- Deterministický pokus dává při opakování za stejných podmínek stejné výsledky, náhodný ne.
- ${\Omega}$
- $${V'(5, 26) = 26^5}$$