PRAVDĚPODOBNOST

a)

$${V'(3, 6) = 6^3 = 216}$$

b)

$${V'(2, 8) = 8^2 = 64}$$

c)

$${V'(8, 2) = 2^8 = 256}$$

Jedná se o variaci s opakováním 5. řádu z 26 prvků. $${V'(5, 26) = 26^5 = 11~881~376}$$

Máme 3 kostky a na každé může padnout jedna ze šesti hodnot.

Jedná se o variaci s opakováním 3. řádu z 6 prvků. $${V'(3, 6) = 6^3 = 216}$$

Číslo dělitelné pěti musí končit číslicí 0 nebo 5, tj. hledáme čísla ve tvaru YXXX0 a YXXX5, kde místo "X" mohou bát libovolné číslice 0 - 9 a místo "Y" číslice 1 - 9 (v případě, že by zde byla 0, tak se nejedná o pěticiferné číslo).

Obsazení 3 pozic uprostřed čísla (označené písmenem "X") udává variace 3. řádu z 10 prvků: $${V'(3,10) = 10^3 = 1~000}$$

Na první pozici může být 1 z 9 číslic.

Na poslední pozici jedna ze 2 čislic.

Pro získání celkového počtu čísel, která splňují naši podmínku, použijeme kombinatorické pravidlo součinu: $${n = 9 \cdot V'(3, 10) \cdot 2 = 9 \cdot 1~000 \cdot 2 = 18~000}$$

Existuje 18~000 pěticiferných čísel dělitelných pěti.

Aby bylo číslo dělitelné čtyřmi, musí být splněna podmínka, že poslední dvoučíslí je dělitelné čtyřmi. V našem případě jsou možné pro poslední dvoučíslí následující možnosti: 12, 24, 32, 44, 52.

Máme tedy 5 variant pro poslední dvoučíslí. Následně je možné obsadit zbylé 4 pozice číslicemi 1 - 5.

Celkový počet čísel, která splňují požadované podmínky je: $${5 \cdot V'(4, 5) = 5 \cdot 5^4 = 3~125}$$

Existuje celkem 3 125 čísel sestavených z číslic 1, 2, 3, 4 a 5, která jsou dělitelná čtyřmi.

Nejprve určíme celkový počet pěticiferných čísel. Od všech pětičlenných skupin sestavených z číslic 0 - 9 je nutné odečíst všechny ty, které mají na první pozici číslici 0): $${V'(5, 10) - V'(4, 10) = 10^5 - 10^4 = 100~000 - 10~000 = 90~000}$$

Nyní už k počtu pěticiferných čísel, která nebudou obsahovat číslici "2". V tomto případě budeme sestavovat variace s opakováním z 9 prvků (číslici "2" jsme totiž vyloučili). Opět však musíme odečíst všechny možnosti, kdy by byla číslice "0" na první pozici. $${V'(5, 9) - V'(4, 9) = 9^5 - 9^4 = 59~049 - 6~561 = 52~488}$$

Když od sebe předchozí 2 výsledky odečteme, získáme počet čísel, které obsahují alespoň jednu číslici "2": $${90~000 - 52~488 = 37~512}$$

Počet pěticiferných čísel, které obsahují číslici "2" je 37 512, počet pěticiferných čísel, které neobsahují číslici "2" je 52 488, je jich tedy více.

k-prvkovou množinu můžeme výčtem zapsat například jako ${\left{1, 2, 3, \dots, k\right}}$. Pro potřebu výpočtu počtu podmnožin vytvoříme množinu jedniček a nul, kdy 1 bude znamenat, že odpovídající prvek z původní množiny bude v podmnožině obsažen, 0 bude znamenat, že obsažen nebude. Například množina ${\left{1, 1, 0, \dots, 0\right}}$, nám říká, že do dané podmnožiny použijeme jen první dva prvky z původní množiny. Sestavujeme tedy variaci s opakováním k-tého řádu ze 2 prvků. $${V'(k, 2) = 2^k}$$

V případě, že bude původní množina 3-prvková, tak dle výše uvedeného postupu bude počet podmnožin: $${V'(3, 2) = 2^3 = 8}$$

V pytlíku máme 4 různé barvy. Protože budeme postupně tahat po jedné, bude záležet na pořadí, jedná se tedy o variaci s opakováním (je zde totiž více kuliček stejné barvy). A protože ze 4 barev sestavujeme desetičlennou skupinu, bude se jednat o variace s opakováním desátého řádu ze čtyř prvků.

Dosadíme do vzorce pro variaci s opakováním: $${V'(10, 4) = 4^10 = 1~048~576}$$.

Můžeme získat 1~048~576 skupin kuliček.

Pro variace s opakováním platí vzorec: $${V`(k, n) = n^k}$$

Dosadíme-li do výše uvedeného vzorce, získáme: $${V`(6, n) = n^6 = 46656}$$

Řešíme tedy následující rovnici: $${n^6 = 46656}$$ $${n = \sqrt[6]{46656}}$$ $${k = 6}$$

Jedná se o variaci z šesti prvků.

Pro variace s opakováním platí vzorec: $${V`(k, n) = n^k}$$

Dosadíme-li do výše uvedeného vzorce, získáme: $${V`(k, 5) = 5^k = 3125}$$

Řešíme tedy následující rovnici: $${5^k = 3125}$$ $${5^k = 5^5}$$ $${k = 5}$$

Jedná se o pětičlenné variace z pěti prvků.