PRAVDĚPODOBNOST

L05: Vlastnosti kombinačních čísel

<< Předchozí lekce | Seznam lekcí | Další lekce >>

V této lekci si odvodíme vztahy, které nám pomohou usnadnit řešení některých výrazů a rovnic s kombinačními čísly.

První vztah platí pro kombinační čísla ${\binom{n}{0}}$ a ${\binom{n}{n}}$:

$${\binom{n}{0} = \frac{n!}{0!\cdot(n - 0)!} = \frac{n!}{0!\cdot{n!}} = \frac{n!}{1\cdot{n!}} = 1}$$

$${\binom{n}{n} = \frac{n!}{n!\cdot(n - n)!} = \frac{n!}{n!\cdot{0!}} = \frac{n!}{{n!}\cdot{1}} = 1}$$

Druhý vztah platí pro kombinační čísla ${\binom{n}{1}}$ a ${\binom{n}{n - 1}}$:

$${\binom{n}{1} = \frac{n!}{1!\cdot(n - 1)!} = \frac{n\cdot(n - 1)!}{1!\cdot(n - 1)!} = \frac{n}{1} = n}$$

$${\binom{n}{n - 1} = \frac{n!}{(n - 1)!\cdot[n - (n - 1)]!} = \frac{n\cdot(n - 1)!}{(n - 1)!\cdot{1}!} = \frac{n}{1} = n}$$

Poslední vztah, který zde bude uveden, definuje součet kombinačních čísel ${\binom{n}{k}}$ a ${\binom{n}{k + 1}}$:

$${\binom{n}{k} + \binom{n}{k + 1} = \frac{n!}{k!\cdot(n - k)!} + \frac{n!}{(k + 1)!\cdot[n - (k + 1)]!} = \frac{n!}{k!\cdot(n - k)!} + \frac{n!}{(k + 1)!\cdot(n - k - 1)!} = }$$

$${ = \frac{n!}{k!\cdot(n - k)\cdot(n - k - 1)!} + \frac{n!}{(k + 1)\cdot{k!}\cdot(n - k - 1)!} = \frac{n!\cdot(k + 1) + n!\cdot(n - k)}{(k + 1)\cdot{k!}\cdot(n - k)\cdot(n - k - 1)!} = }$$

$${ = \frac{n!\cdot[(k + 1) + (n - k)]}{(k + 1)\cdot{k!}\cdot(n - k)\cdot(n - k - 1)!} = \frac{n!\cdot(n + 1)}{{(k + 1)!}\cdot(n - k)!} = \frac{(n + 1)!}{{(k + 1)!}\cdot(n + 1 - k - 1)!} = \frac{(n + 1)!}{{(k + 1)!}\cdot[(n + 1) - (k + 1)]!} = \binom{n + 1}{k + 1}}$$

Vztahy, které jsme si odvodili výše, si na závěr shrneme (první z uvedených vztahů byl definován v předchozí lekci).

<< Předchozí lekce | Seznam lekcí | Další lekce >>